1. ƯỚC CHUNG VÀ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT 

Hoạt động 1:

a) Các ước của 30 và của 48 theo thứ tự tăng dần:

b) Các số vừa ở cột thứ nhất vừa ở cột thứ 2 là: 1;2;3;6.

Kết luận:

Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.

Số lớn nhất trong các ước chung của a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.

Quy ước:

Viết tắt ước chung là ƯC và ước chung lớn nhất là ƯCLN

Ta kí hiệu: Tập hợp các ước chung của a và b là ƯC(a, b); ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN (a, b).

VD: ƯC ( 30, 48)  = {1; 2; 3; 6}.

ƯCLN (30, 48) = 6

Luyện tập 1:

a) Số 8 là ước chung của 24 và 56 vì 8 vừa là ước của 24 vừa là ước của 56.

b) Số 8 không phải là ước chung của 14 và 48 vì 8 là ước của 48 nhưng không phải là ước của 14.

* Chú ý:

- Số tự nhiên n được gọi là ước chung của ba số a, b, c nếu n là ước của ba số a, b, c.

Luyện tập 2:

Số 7 là ước chung của 14, 49, 63 vì 7 vừa là ước của 14, vừa là ước của 49, vừa là ước của 63.

Hoạt động 2:

a) Các ước chung của 24 và 36 là 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Vậy ƯC(24, 36) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

b) ƯCLN(24, 36) = 12.

c) ƯCLN(24, 36) = 12.

Chia ƯCLN cho các ước chung:

12 : 1 = 12

12 : 2 = 6

12 : 3 = 4

12 : 4 = 3

12 : 6 = 2

12 : 12 = 1

Kết luận:

Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.

Luyện tập  3:

Vì ước chung của a và b đều là ƯCLN(a, b) = 80 nên tất cả các số có hai chữ số là ước chung của a và b là: 10, 16, 20, 40, 80.

2. TÌM ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH CÁC SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ

Hoạt động 3:

Bước 1: Phân tích 36 và 48 ra thừa số nguyên tố.

36 =  2.2.3.3 = 2$^{2}$.3$^{2}$

48 = 2.2.2.2.3 = 2$^{4}$.3

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung của 36 và 48 là 2 và 3.

Bước 3: Với mỗi thừa số nguyên tố chung 2 và 3, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất:

+ Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2; ta chọn 2$^{2}$.

+ Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1; ta chọn 3$^{1}$.

Bước 4: Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm:

ƯCLN ( 36, 48) =  2$^{2}$.3$^{1}$ = 12.

Kết luận:

Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất.

Bước 4: Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm.

Luyện tập 4:

126 = 2.7.3$^{2}$

162 = 2$^{3}$. 3$^{3}$

=> ƯCLN (126; 162) = 2.3$^{2}$ = 18

Chú ý:

- Nếu hai số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng.

- Nếu a ⋮  b thì ƯCLN (a,b) = b. Chẳng hạn: ƯCLN (168, 180) = 2$^{2}$.3$^{1}$ = 4.3 = 12 

3. HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU VÀ PHÂN SỐ TỐI GIẢN

Hoạt động 4:

ƯCLN ( 8, 27) = 1

Kết luận:

Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1.

Luyện tập 5:

Có: ƯCLN (24,35) = 1

=> Hai số 24 và 35 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Hoạt động 5:

a) Có: ƯCLN(4,9) = 1.

=> Hai số 4 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau.

b) Có thể rút gọn phân số:

$\frac{4}{9}=\frac{2}{3}$

Kết luận:

Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ 6:

a) ƯCLN ( 16, 20) = 4.

Vậy $\frac{16}{20}=\frac{16:4}{20:4}=\frac{4}{5}$

b) Ta có:

18 : 3 = 6 

$\frac{3}{7}=\frac{3.6}{7.6}=\frac{18}{42}$