A. Tổng hợp kiến thức

I. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

• Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ và $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$. Ta có:

==> Hệ quả:

II. Tích vô hướng

Định lí

• Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ và $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$ xác định bởi:

Ứng dụng

• Độ dài vectơ:

• Khoảng cách giữa hai điểm: Trong không gian Oxyz cho $A(x_{A},y_{A},z_{A})$  và $B(x_{B},y_{B},z_{B})$, ta có:

• Góc giữa hai vectơ: Góc giữa $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ và $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$ là $\varphi $

• Đặc biệt: 

III. Phương trình mặt cầu

Định lí

• Trong không gian Oxyz, mặt cầu S có tâm I( a; b; c ) bán kính r có phương trình là:

IV. Phương trình mặt phẳng

• Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

Điều kiện hai mặt phẳng song song, vuông góc

1. Điều kiện hai mặt phẳng song song

• $(\alpha _{1})//(\alpha _{2})<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{n_{1}}=k\overrightarrow{n_{2}} & \\ D_{1}\neq kD_{2} & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix}(A_{1};B_{1};C_{1})=k(A_{2};B_{2};C_{2}) & \\ D_{1}\neq kD_{2} & \end{matrix}\right.$
• $(\alpha _{1})\equiv (\alpha _{2})<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{n_{1}}=k\overrightarrow{n_{2}} & \\ D_{1}= kD_{2} & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix}(A_{1};B_{1};C_{1})=k(A_{2};B_{2};C_{2}) & \\ D_{1}= kD_{2} & \end{matrix}\right.$
• $(\alpha _{1})$ cắt $(\alpha _{2})$ <=> $\overrightarrow{n_{1}}\neq k\overrightarrow{n_{2}}<=>(A_{1};B_{1};C_{1})\neq k(A_{2};B_{2};C_{2}) $

2. Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc

• $(\alpha _{1})\perp (\alpha _{2})<=>\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}}=0<=>A_{1}.A_{2}+B_{1}.B_{2}+C_{1}.C_{2}=0$

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Định lí

• Trong không gian Oxyz, cho mp($(\alpha )$ có phương trình $Ax+By+Cz+D=0$ và điểm $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$. Khoảng cách từ M đến mp($(\alpha )$ xác định bởi công thức: 

V. Phương trình tham số của đường thẳng

• Điều kiện cần và đủ để điểm $M(x;y;z)$ nằm trên $\Delta $ là có một số thực $t$ sao cho:

Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau

1. Hai đường thẳng song song

• d // d' <=> $d//d'<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a'} &  & \\ M \in d &  & \\ M \notin d' &  & \end{matrix}\right.$
• $d \equiv  d'<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a'} &  & \\ M \in d &  & \\ M \in d' &  & \end{matrix}\right.$

2. Hai đường thẳng cắt nhau

Cho d: $\left\{\begin{matrix}x=x_{0}+ta_{1} &  & \\ y=y_{0}+ta_{2}  &  & \\ z=z_{0}+ta_{3} &  & \end{matrix}\right.$ và d': $\left\{\begin{matrix}x=x_{0}'+t'a_{1}' &  & \\ y=y_{0}'+t'a_{2}'  &  & \\ z=z_{0}'+t'a_{3}' &  & \end{matrix}\right.$

• $d$ và $d'$ cắt nhau <=> $\left\{\begin{matrix}x_{0}+ta_{1}=x_{0}'+t'a_{1}' &  & \\ y_{0}+ta_{2}=y_{0}'+t'a_{2}'  &  & \\ z_{0}+ta_{3}=z_{0}'+t'a_{3}' &  & \end{matrix}\right.$ có đúng  một nghiệm.

3. Hai đường thẳng chéo nhau

• $d$ và $d'$ chéo nhau <=> $\left\{\begin{matrix}x_{0}+ta_{1}=x_{0}'+t'a_{1}' &  & \\ y_{0}+ta_{2}=y_{0}'+t'a_{2}'  &  & \\ z_{0}+ta_{3}=z_{0}'+t'a_{3}' &  & \end{matrix}\right.$ vô nghiệm.