A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa

Vectơ \(\vec{u}\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(∆\) nếu \(\vec{u}\) ≠ \(\vec{0}\) và giá của \(\vec{u}\) song song hoặc trùng với \(∆\)

Nhận xét

- Nếu \(\vec{u}\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(∆\) thì \(k\vec{u}( k≠ 0)\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(∆\), do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết môt điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

- Phương trình tham số của đường thẳng \(∆\) đi qua điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\) và nhận vectơ \(\vec{u}  = (a; b)\) làm vectơ chỉ phương là :

\(∆\) : \(\left\{\begin{matrix} x= x_{0}+t.a& \\ y= y_{0}+t.b& \end{matrix}\right.\)

-Khi hệ số \(a≠ 0\) thì tỉ số \(k= \frac{a}{b}\) được gọi là hệ số góc của đường thẳng.

Từ đây, ta có phương trình đường thẳng \(∆\) đi qua điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\) và có hệ số góc k là:

\(y – y_0 = k(x – x_0)\)

Chú ý: Ta đã biết hệ số góc \(k = \tan α\) với góc \(α\) là góc của đường thẳng \(∆\) hợp với chiều dương của trục \(Ox\)

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 

    Định nghĩa

Vectơ \(\vec{n}\) được gọi là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng \(∆\) nếu \(\vec{n}\)  ≠ \(\vec{0}\) và \(\vec{n}\) vuông góc với vectơ chỉ phương của \(∆\)

    Nhận xét

• Nếu \(\vec{n}\)  là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(∆\) thì \(k\vec{n}\) \((k ≠ 0)\) cũng là một vectơ pháp tuyến của \(∆\), do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.
• Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.

4. Phương trình tổng quát của đường thẳng

      Định nghĩa

Phương trình \(ax + by + c = 0\) với \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng \(0\), được gọi là phương trinh tổng quát của đường thẳng.

     Trường hợp đặc biệt

• Nếu \(a = 0 => y = \frac{-c}{b};  ∆ \perp Oy=(0;\frac{-c}{b})\)
• Nếu \(b = 0 => x = \frac{-c}{a}; ∆ \perp Ox=(\frac{-c}{a};0)\)
• Nếu \(c = 0 => ax + by = 0 =>  ∆\) đi qua gốc tọa độ.
• Nếu \(∆\) cắt \(Ox\) tại \((a; 0)\) và \(Oy\) tại \(B (0; b)\) thì ta có phương trình đường thẳng \(∆\) theo đoạn chắn:

                \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng  ∆₁ và ∆₂ có phương trình tổng quát lần lượt là: a₁x+b₁y + c₁ = 0 và a ₂+ b₂y +c₂ = 0.

Điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\) là điểm chung của  ∆₁ và ∆₂  khi và chỉ khi \((x_0 ;y_0)\) là nghiệm của hệ hai phương trình:

(1)  \(\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& \\ a_{2}x+b_{2y}+c_{2}= 0& \end{matrix}\right.\) 

Ta có các trường hợp sau:

a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆₁ cắt ∆₂

b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆₁ // ∆₂

c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆₁ $\equiv$  ∆₂

6. Góc giữa hai đường thẳng

    Hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tạo thành 4 góc.

• Nếu ∆₁ không vuông góc với ∆₂ thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂.
• Nếu ∆₁ vuông góc với ∆₂ thì ta nói góc giữa ∆₁ và ∆₂bằng  90⁰ .
• Trường hợp  ∆₁ và ∆₂ song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa  ∆₁ và ∆₂ bằng 0⁰.
• Như vậy gương giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng  90⁰  

Góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ được kí hiệu là \(\widehat{\Delta _{1},\Delta _{2}}\)

Cho hai đường thẳng  ∆₁ = a₁x+b₁y + c₁ = 0 

                                    ∆₂ =  a ₂+ b₂y +c₂ = 0⁰ 

Đặt \(\varphi\) = \(\widehat{\Delta _{1},\Delta _{2}}\)

                  \(\cos  \varphi\) = \(\frac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\)

Chú ý

• \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {n_1} \bot {n_2} \Leftrightarrow {a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2} = 0\).
• Nếu  \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\)  có phương trình y = k₁ x + m₁ và y = k₂ x + m₂ thì: \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {k_1}.{k_2} =  - 1\).

7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(∆\) có phương trình \(ax+by+c-0\) và điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\). Khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến đường thẳng \(∆\) kí hiệu là \(d(M_0,∆)\), được tính bởi công thức:

                     \(d(M_0,∆)=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)