HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 1.

+ Quan sát vào công thức của dãy số và giá trị của bảng a, ta thấy khi n càng lớn thì giá trị phân số càng nhỏ.

+ Quan sát hình vẽ điểm un càng dần đến điểm 0 khi n trở nên rất lớn. Hay chính là với số dương bất kì cho trước, un vẫn nhỏ hơn số đó, kể từ số hàng nào đó trở đi.

Ví dụ cho số dương M = 0,002; thì với n >  2000 thì un=1n<0,002.

→ Ta gọi đó dãy có giới hạn là 0.

- GV cho HS nêu lại khái niệm về dãy số có giới hạn 0.

- GV cho HS tìm hiểu Ví dụ 1. GV hướng dẫn:

+ Để xác định giới hạn dãy này, ta so sánh giá trị của dãy un với dãy số 1n. Giá trị của 2 dãy này có mối quan hệ gì? 

(un=(-1)nn=1n)

+ Ta vừa xác định ở trên với mọi số thực dương bé tùy ý ta đều có giá trị N>1d sao cho với n≥N, thì 1n1N<d . Từ đó cũng xác định được giới hạn của dãy un=(-1)nn .

- GV đặt câu hỏi, cho HS thảo luận nhóm đôi:

+ Hãy so sánh 1nk với 1n (với k nguyên dương). Từ đó có thể kết luận gì về giá trị lim1n2?

(1nk1n, từ đó lim1nk=0).

+ Xét các dãy số có dạng qn với q<1. Khi n càng lớn thì giá trị qn sẽ như thế nào? Từ đó xác định giá trị  qn ?

(Khi n càng lớn thì giá trị qn càng nhỏ. lim⁡qn=0)

- Từ đó GV giới thiệu một số giới hạn cơ bản. 

+ Sử dụng các dãy cơ bản đó chúng ta có thể tính nhiều giới hạn các dãy.

+ GV chú ý  cho HS: qn =0 với điều kiện q<1.

- HS đọc hiểu Ví dụ 2, trình bày lại, giải thích đã sử dụng tính chất nào để tìm giới hạn.

- HS thảo luận nhóm đôi, làm Thực hành 1, giải thích.

- HS thảo luận nhóm đôi, thực hiện HĐKP 2.

- GV gợi mở: 

Ta nhận thấy un-2 càng dần đến 0 khi n trở nên rất lớn. Hay điểm un càng dần đến điểm 2 khi n trở nên rất lớn.

+ Khi đó ta nói dãy un có giới hạn là 2.

- GV cho HS phát biểu khái niệm giới hạn hữu hạn của dãy số.

+ Chú ý cho HS giới hạn của hàm hằng.

- HS đọc hiểu Ví dụ 3. GV hướng dẫn:

+ Thực hiện phép chia tử cho mẫu, ta thấy dãy số có dạng un=3+1n2, đến đây ta có thể thấy 1n2 chúng ta có thể tính được giới hạn. Nên ta xét tính giới hạn của hiệu un-3=1n2 .

- Áp dụng HS thực hiện Thực hành 2.

+ GV hướng dẫn HS chọn dãy số có giới hạn 0 phù hợp để từ đó tính được giới hạn dãy đã cho.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức :

+ Giới hạn 0 của dãy số. Một số dãy số cơ bản có giới hạn 0: lim1nk=0, lim⁡qn=0, k nguyên dương, q<1.

+ Giới hạn hữu hạn của dãy số có thể tính được thông qua việc chọn lựa dãy số có giới hạn 0 một cách hợp lí.

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số.

a) Giới hạn 0 của dãy số

HĐKP 1: un=(-1)nn.

a) 

b) un=1n. 

Ta có: 1n<0,01 khi n>100;

1n<0,001 khi n>1000.

c) 

Khoảng cách từ un đến 0 trở nên rất bé khi n trở nên rất lớn.

Kết luận

Ta nói dãy số un có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu un nhỏ hơn một số dương bất kì cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu un  =0 hay un→0 khi n→+∞. Ta còn viết là lim⁡un=0.

Ví dụ 1 (SGK – tr.64)

Với dãy số un=(-1)nn ở P, sử dụng định nghĩa, chứng tỏ rằng lim un=0.

Giải

Với số thực dương d bé tuỳ ý cho trước, lấy số tự nhiên N sao cho N>1d. Khi đó, với mọi số tự nhiên n sao cho nN, ta có un=(-1)nn=1n1N<d.

Theo định nghĩa, limun=0.

Giới hạn cơ bản:

• lim1nk=0, với k nguyên dương bất kì.
• lim⁡qn=0, với q là số thực thoả mãn q<1.

Ví dụ 2 (SGK – tr. 65)

Thực hành 1:

a) lim1n2=0 vì lim1nk=0, với k nguyên dương bất kì.

b) lim-34n=0 vì lim⁡qn=0, với q là số thực thoả mãn q<1, trong trường hợp này q=-34.

b) Giới hạn hữu hạn của dãy số

HĐKP 2:

a) vn=un-2=1n

lim vn=lim1n=0

b) u1=3

u2=52

u3=73

u4=94

Nhận xét: Điểm un càng dần đến điểm 2 khi n trở nên rất lớn.

Kết luận:

Ta nói dãy số un có giới hạn hũu hạn là số a (hay un dần tới a ) khi n dần tới dương vô cực, nếu lim un-a=0. Khi đó, ta viết un =a hay lim⁡un=a hay una khi n→+∞.

Chú ý: Nếu un=c(c là hằng số) thì lim⁡un=lim⁡c=c.

Ví dụ 3 (SGK – tr.65)

Thực hành 2:

a) lim2+23n-2=lim23n=0, suy ra lim2+23n=2.

b) lim1-4nn-(-4)=lim1n=0, suy ra lim1-4nn=-4.