Soạn giáo án điện tử Toán 12 KNTT Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Nội dung giáo án

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC

HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giả. Với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình là 27 000 người. Qua đó thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3 000 khán giả. 

Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất?

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI 5. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ VẤN ĐỀ 

LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN 

NỘI DUNG BÀI HỌC

1. TỐC ĐỘ THAY ĐỔI CỦA MỘT ĐẠI LƯỢNG

Giả sử là một hàm số của và ta viết . Nếu thay đổi từ đến , thì sự thay đổi của là 

và sự thay đổi tương ứng của là 

đối với trên đoạn .

đ tức thời của đối với tại điểm .

Như vậy, đạo hàm là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng đối với tại điểm . Dưới đây, chúng ta xem xét một số ứng dụng của ý tưởng này đối với vật lí, hóa học, sinh học và kinh tế:

• Nếu là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật.

• Nếu là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hóa học tại thời điểm , thì là tốc độ phản ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của chất điểm đó tại thời điểm .
• Nếu là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm , thì biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm .
• Nếu là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất đơn vị hàng hóa, thì tốc độ thay đổi tức thời của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên.

Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên xấp xỉ đối với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo, tức là đơn vị hàng hóa thứ (xem SGK Toán 11 tập hai, trang 87, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống).

Ví dụ 1.

Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất m với vận tốc ban đầu m/s là (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

a) Tìm vận tốc của vật sau giây.

b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?

c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?

Giải:

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là (m/s).

Do đó, vận tốc của vật sau giây là (m/s).

b) Vì là hàm số bậc hai có hệ số nên đạt giá trị lớn nhất tại 

Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là (m).

c) Vật chạm đất khi độ cao bằng , tức là , hay (giây).

Vận tốc của vật lúc chạm đất là (m/s).

Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyển động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn (khi lập phương trình chuyển động của vật).

Ví dụ 2.

Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bằng hàm số 

Trong đó thời gian được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu , quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Tìm các giá trị của và .     Theo mô hình này, điều gì xảy ra với quần thể nấm men về lâu dài?

Giải:

Theo đề bài, ta có và . Do đó, ta có hệ phương trình: 

Khi đó, 

tức là số lượng của quần thể nấm men luôn tăng. 

nên số lượng của quần thể nấm men tăng nhưng không vượt quá 100 tế bào. 

Ví dụ 3.

Giả sử chi phí (nghìn đồng) để sản xuất đơn vị của một loại hàng hóa đó được cho bởi hàm số 

.

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm và giải thích ý nghĩa.

c) So sánh với chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 201.

Giải:

a) Hàm chi phí biên là

b) Ta có:

Chi phí biên tại là nghìn đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo (đơn vị hàng hoá thứ 201) là khoảng nghìn đồng.

c) Chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201 là

(nghìn đồng)

Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên đã tính ở câu b.

Ví dụ 4.

Để loại bỏ chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy,    người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . Từ đó, hãy      trả lời các câu hỏi sau:

a) Chi phí cần loại bỏ ra sẽ thay đổi như thế nào khi tăng?

b) Có thể loại bỏ được chất gây ô nhiễm không khí không? Vì sao?

Giải:

Do đó hàm số luôn đồng biến trên nửa khoảng

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số như Hình.

a) Chi phí cần bỏ ra sẽ luôn tăng khi tăng.

b) Vì (hàm số không xác định khi ) nên nhà máy không thể loại bỏ chất gây ô nhiễm không khí (dù bỏ ra chi phí là bao nhiêu đi chăng nữa).

Luyện tập 1

Khi máu di chuyển từ tim qua các động mạch chính rồi đến các mao mạch và quay trở lại qua các tĩnh mạch, huyết áp tâm thu (tức là áp lực của máu lên động mạch khi tim co bóp) liên tục giảm xuống. Giả sử một người có huyết áp tâm thu (tính bằng mmHg) được cho bởi hàm số

trong đó thời gian được tính bằng giây. Tính tốc độ thay đổi của huyết áp sau giây kể từ khi máu rời tim.

Giải:

Ta có: 

Tốc độ thay đổi của huyết áp sau giây kể từ khi máu rời tim là

2. MỘT VÀI BÀI TOÁN TỐI ƯU HOÁ ĐƠN GIẢN

--------------- Còn tiếp ---------------