Giải sbt toán 6 tập 2: bài tập 87 trang 26

a)     \({1 \over n}.{1 \over {n + 1}} = {1 \over {n(n + 1)}}\,\,\,(1)\,\,\,\,(n \in \mathbb{Z}, n \ne 0)\)

\({1 \over n} - {1 \over {n + 1}} \)

\(= \frac{n+1}{n(n+1)}-\frac{n}{n(n+1)}\)

\(=\frac{n+1-n}{n(n+1)}\)

\(= {1 \over {n(n + 1)}}\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) ta có

\({1 \over n}.{1 \over {n + 1}} = {1 \over n} - {1 \over {n + 1}}\left( {n \in \mathbb{Z},n > 0} \right)\)

b) Áp dụng kết quả câu a ta có:

\(A = {1 \over 2}.{1 \over 3} + {1 \over 3}.{1 \over 4} + {1 \over 4}.{1 \over 5} + {1 \over 5}.{1 \over 6} + {1 \over 6}.{1 \over 7} + {1 \over 7}.{1 \over 8} + {1 \over 8}.{1 \over 9}\) 

\(= {1 \over 2} - {1 \over 3} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 4} - {1 \over 5} + {1 \over 5} - {1 \over 6} + {1 \over 6} - {1 \over 7} + {1 \over 7} - {1 \over 8} + {1 \over 8} - {1 \over 9} \)

\(= {1 \over 2} - {1 \over {9}} \)

\(= {{9} \over {18}} - {{  2} \over {18}} \)

\(= {7 \over {18}} \)

\(B = {1 \over {30}} + {1 \over {42}} + {1 \over {56}} + {1 \over {72}} + {1 \over {90}} + {1 \over {110}} + {1 \over {132}}\)

\(= {1 \over 5}.{1 \over 6} + {1 \over 6}.{1 \over 7} + {1 \over 7}.{1 \over 8} + {1 \over 8}.{1 \over 9} + {1 \over 9}.{1 \over {10}} + {1 \over {10}}.{1 \over {11}} + {1 \over {11}}.{1 \over {12}} \)

\(= {1 \over 5} - {1 \over 6} + {1 \over 6} - {1 \over 7} + {1 \over 7} - {1 \over 8} + {1 \over 8} - {1 \over 9} + {1 \over 9} - {1 \over {10}} + {1 \over {10}} - {1 \over {11}} + {1 \over {11}} - {1 \over {12}} \)

\(= {1 \over 5} - {1 \over {12}} \)

\(= {{12} \over {60}}-{{  5} \over {60}} \)

\(= {7 \over {60}} \)