Giải câu 5 bài: Ứng dụng của tích phân trong hình học

a) Ta có hoành độ điểm P là: $x_{P} =  OP = OM. \cos \alpha = R.\cos \alpha$

=> Phương trình đường thẳng OM là: $y = \ tan \alpha.x$

=> Thể tích của khối tròn xoay là: $V=\prod \int_{0}^{R\cos \alpha }x^{2}\tan ^{\alpha }dx$

<=> $V=\frac{\prod R^{3}}{3}\sin ^{2}\alpha \cos \alpha $

<=> $V=\frac{\prod R^{3}}{3}(\cos \alpha -\cos ^{3}\alpha ) $   (đvdt)

Vậy thể tích của khối tròn xoay là: $V=\frac{\prod R^{3}}{3}(\cos \alpha -\cos ^{3}\alpha ) $   (đvdt).

b) Ta có:  $V'(\alpha )=\frac{\prod R^{3}}{3}(\sin ^{2}\alpha +3\cos ^{2}\alpha \sin \alpha )$

=> $V'(\alpha )=0<=>\frac{\prod R^{3}}{3}(\sin ^{2}\alpha +3\cos ^{2}\alpha \sin \alpha )=0$

<=> $3\cos ^{2}\alpha -1=0$

<=> $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$

<=> $\alpha =\arccos (\frac{1}{\sqrt{3}})$

Bảng biến thiên:

=> Thể tích $V$ là lớn nhất  <=> $\alpha =\arccos (\frac{1}{\sqrt{3}})$.