Giải Câu 4 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Kéo dài AH cắt BC tại E, CH cắt AB tại K.

a) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC.

• \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mp \((ABC)\) (gt) nên \(OH ⊥ (ABC) \Rightarrow OH ⊥ BC\)  (Tính chất)
• Mặt khác: \(OA ⊥ OB\), \(OA ⊥ OC\) (gt) mà $OB \cap OC$

\(\Rightarrow OA ⊥ (OBC) \Rightarrow OA ⊥ BC\)   (Tính chất)

Ta có: 

$\left.\begin{matrix} OH& \perp BC \\  OA& \perp BC \\  OH& \cap OA \end{matrix}\right\}\Rightarrow BC\perp (OAH)$

mà: \(AH\subset (OAH) \Rightarrow BC  ⊥ AH\)    (1)

• Chứng minh tương tự:  \(OA ⊥ OC\), \(OB ⊥ OC\) (gt) mà $OA \cap OB$

\(\Rightarrow OC ⊥ (OAB) \Rightarrow OC ⊥ AB\)   (Tính chất)

Ta có: 

$\left.\begin{matrix} OH& \perp AB \\  OC& \perp AB \\  OH& \cap OC \end{matrix}\right\}\Rightarrow AB\perp (OHC)$

mà: \(CH\subset (OHC) \Rightarrow AB  ⊥ HC\)     (2)

• Từ (1) (2) \(\Rightarrow H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

b)

• Trong mặt phẳng \((ABC)\) vì \(E = AH ∩ BC\), \(OH ⊥ (ABC)\), \(AE ⊂ (ABC) \Rightarrow OH ⊥ AE\) tại \(H\);
• \(OA ⊥ (ABC), OE ⊂ (ABC) \Rightarrow OA ⊥ OE\)

=> \(OH\) là đường cao của tam giác vuông \(OAE\)

=> \(\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OE^{2}}\)   (3)

Mặt khác \(OE\) là đường cao của tam giác vuông \(OBC\) 

=> \(\frac{1}{OE^{2}}=\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}\)

Thay vào (3) ta có:

\(\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OE^{2}} =\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}.\)