Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp đưa về các phân thức có mẫu số là biểu thức bình phương

I.Hướng dẫn giải

Ta tách phân thức thành dạng $\frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+n}+\frac{C}{(x+n)^{2}}$ sau đó tìm các hệ số để dễ dàng tìm được tích phân cần tính.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tính $I=\int_{2}^{3}\frac{3x^{2}+3x+5}{3x^{3}-3x+2}dx$

Bài giải:

Ta tách:

$\frac{3x^{2}+3x+5}{3x^{3}-3x+2}=\frac{A}{(x-1)^{2}}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+2}$

$\Rightarrow A(x+2)+B(x-1)(x+2)+C(x-1)^{2}=3x^{2}+3x+5$

Chọn $x=1\Rightarrow A=\frac{11}{3}$

Chọn $x=-2\Rightarrow C=\frac{11}{9}$

Hệ số tự do bên vế trái là 2A-2B+C.

Do đó: $2A-2B+C=5\Rightarrow B=\frac{16}{9}$

Nên ta có:

$I=\int_{2}^{3}\frac{3x^{2}+3x+5}{3x^{3}-3x+2}dx$

$=\int_{2}^{3}\left ( \frac{11}{3(x-1)^{2}} +\frac{11}{6(x-1)}+\frac{16}{9(x+2)}\right )dx$

$=\frac{11}{6}+\frac{11}{6}ln2+\frac{16}{9}ln\frac{5}{4}$

Bài tập 2: Tính $I=\int_{0}^{1}\frac{3x+1}{4x^{3}+28x^{2}+65x+50}$

Bài giải: 

Ta tách:

$\frac{3x+1}{4x^{3}+28x^{2}+65x+50}=\frac{3x+1}{(x+2)(2x+5)^{2}}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{2x+5}+\frac{C}{(2x+5)^{2}}$

$\Leftrightarrow 3x+1=A(2x+5)^{2}+B(x+2)(2x+5)+C(x+2)$

Chọn $x=-2\Rightarrow A=-5$

Chọn $x=-\frac{5}{2}\Rightarrow C=13$

Chọn $x=0\Rightarrow B=10$

Do đó ta có:

$I=\int_{0}^{1}\frac{3x+1}{4x^{3}+28x^{2}+65x+50}dx$

$=\int_{0}^{1}\left (\frac{-5}{x+2}+\frac{10}{2x+5}+\frac{13}{(2x+5)^{2}}  \right )dx$

$=-5ln\frac{3}{2}+10ln\frac{7}{5}+26ln\frac{9}{7}$