Bài tập về phương pháp chứng minh quy nạp

1. 

a) $\left ( 1-\frac{1}{2} \right )\left ( 1-\frac{1}{3} \right )...\left ( 1-\frac{1}{n+1} \right )=\frac{1}{n+1}$

Với n = 1 thì mệnh đề đúng vì: $\left ( 1-\frac{1}{1+1} \right )=\frac{1}{1+1}$

Giả sử mệnh đề đúng với n = k, ta được:

$\left ( 1-\frac{1}{2} \right )\left ( 1-\frac{1}{3} \right )...\left ( 1-\frac{1}{k+1} \right )=\frac{1}{k+1}$

Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1, tức là:

$\left ( 1-\frac{1}{2} \right )\left ( 1-\frac{1}{3} \right )...\left ( 1-\frac{1}{k+1} \right )\left ( 1-\frac{1}{k+2} \right )=\frac{1}{k+2}$

Thật vậy:

 $\left ( 1-\frac{1}{2} \right )\left ( 1-\frac{1}{3} \right )...\left ( 1-\frac{1}{k+1} \right )\left ( 1-\frac{1}{k+2} \right )$

=$\frac{1}{k+1}.\left ( 1-\frac{1}{k+2} \right )=\frac{1}{k+1}.\frac{k+1}{k+2}=\frac{1}{k+2}$

Vậy mệnh đề đúng với mọi n $\in $ N*

b) $1.4 + 2.7 + ... + n(3n+1)= n(n+1)^{2}$

Với n = 1 thì mệnh đề đúng vì $1.(3.1+1)=1.(1+1)^{2}$

Giả sử mệnh đề đúng với n = k, ta có:

$1.4 + 2.7 + ... + k(3k+1)= k(k+1)^{2}$

Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1, tức là:

$1.4 + 2.7 + ... + k(3k+1) + (k+1)(3k+4)= (k+1)(k+2)^{2}$

Thật vậy:

 $1.4 + 2.7 + ... + k(3k+1) + (k+1)(3k+4)$

=$k(k+1)^{2}+(k+1)(3k+4)=(k+1)[k(k+1)+3k+4]=(k+1)(k+2)^{2}$

Vậy mệnh đề đúng với mọi n $\in $ N*

c) 1.1! + 2.2! + ... + n.n! = (n+1)! - 1

Với n = 1 thì mệnh đề đúng vì 1.1! = 2! - 1

Giả sử mệnh đề đúng với n = k, ta có:

1.1! + 2.2! + ... + k.k! = (k+1)! - 1

Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1, tức là chứng minh:

1.1! + 2.2! + ... + k.k! + (k+1)(k+1)!= (k+2)! - 1

Thật vậy, ta có:

  1.1! + 2.2! + ... + k.k! + (k+1)(k+1)!

= (k+1)! - 1 + (k+1)(k+1)!

= (k+2)(k+1)! - 1

= (k+2)! - 1

Vậy mệnh đề đúng với mọi n $\in $ N*

d) $n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3}\vdots 9$

Với n = 1 thì mệnh đề đúng vì: $1^{3}+(1+1)^{3}+(1+2)^{3}\vdots 9$

Giả sử mệnh đề đúng với n = k, ta có:

$k^{3}+(k+1)^{3}+(k+2)^{3}\vdots 9$

Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1, tức là chứng minh:

$(k+1)^{3}+(k+2)^{3}+(k+3)^{3}\vdots 9$

Thật vậy ta có:

$(k+1)^{3}+(k+2)^{3}+(k+3)^{3}=[k^{3}+(k+1)^{3}+(k+2)^{3}]+(k+3)^{3}-k^{3}$

Xét: $(k+3)^{3}-k^{3}=k^{3}+3k^{2}.3+3k.3^{2}+3^{3}-k^{3}$

= $9k^{2}+27k+27\vdots 9$

$\Rightarrow (k+1)^{3}+(k+2)^{3}+(k+3)^{3}\vdots 9$

Vậy mệnh đề đúng với mọi n $\in $ N*