A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Phương pháp chứng minh quy nạp

Để chứng minh mệnh đề M(n) đúng với mọi số tự nhiên $n\geq n_{0}(n_{0}$ là số tự nhiên cho trước), ta thực hiện các bước sau:

- Chứng minh mệnh đề đúng với $n = n_{0}$, tức là M($n_{0}$) đúng.

- Giả sử M(n) đúng với số tự nhiên n = $k\geq n_{0}$, tức là M(k) đúng. Hãy chứng minh M(n) đúng với n = k+1, tức là M(k+1) đúng.

Khi đó mệnh đề M(n) đúng với mọi số tự nhiên $n\geq n_{0}$

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi $n\in N*$ ta luôn có:

a) $1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

b) $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\left ( \frac{n(n+1)}{2} \right )^{2}$

Hướng dẫn:

a) Với n=1 mệnh đề đúng vì $1^{2}\frac{1(1+1)(2.1+1)}{6}$

Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là:

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

Ta sẽ chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k+1, tức là chứng minh:

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+(k+1)^{2}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

Thật vậy: 

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}+(k+1)^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^{2}}{6}$

= $\frac{(k+1)(2k^{2}+7k+6)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

Vậy mệnh đề đúng với mọi $n\in N*$

b) Với n = 1 mệnh đề đúng vì $1^{3}=\left ( \frac{1(1+1)}{2} \right )^{2}$

Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}=\left ( \frac{k(k+1)}{2} \right )^{2}$

Ta sẽ chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k+1, tức là chứng minh:

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+(k+1)^{3}=\left ( \frac{(k+1)(k+2)}{2} \right )^{2}$

Thật vậy:

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}+(k+1)^{3}=\left ( \frac{k(k+1)}{2} \right )^{2}+(k+1)^{3}$

= $\frac{[k(k+1)]^{2}+4(k+1)^{3}}{4}=\frac{(k+1)^{2}(k^{2}+4k+4)}{4}=\left ( \frac{(k+1)(k+2)}{2} \right )^{2}$

Vậy mệnh đề đúng với mọi $n\in N*$

2. Phương pháp chứng minh phản chứng

Giả sử cần chứng minh mệnh đề A $\rightarrow $ B (A là giả thiết, B là kết luận) là đúng.

Muốn chứng minh bằng phương pháp phản chứng ta phủ định mệnh đề cần chứng minh rồi từ đó suy ra sự vô lí.

Vì $\overline{A\Rightarrow B}=A\wedge \bar{B}$ nên để phủ định mệnh đề cần chứng minh ta ghép giả thiết và phủ định của kết luận

Sự vô lí có thể là điều trái với giả thiết, có thể trái với điều đúng (định nghĩa, định lí, mệnh đề đúng đã được chứng minh, ...) và có thể là điều vô lí do hai điều trái ngược nhau.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình bậc hai sau đây có nghiệm:

$ax^{2}+2bx+c=0; bx^{2}+2cx+a=0;cx^{2}+2ax+b=0$

Hướng dẫn:

Giả sử cả ba phương trình đều vô nghiệm. Khi đó:

$\Delta _{1}'=b^{2}-ac<0; \Delta _{2}'=c^{2}-ab<0;\Delta _{3}'=a^{2}-bc<0$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac<0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]<0$ , vô lí

Vậy ít nhất một trong ba phương trình đã cho có nghiệm.

3. Phương pháp chứng minh bằng phản ví dụ

Để chứng minh một mệnh đề là sai ta chỉ ra một trường hợp (một ví dụ) để mệnh đề đó sai là đủ. Ví dụ đưa ra đó gọi là phản ví dụ.

Ví dụ 3: Xét tính đúng - sai của mệnh đề:

"Phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ có nhiều nhất hai nghiệm". Nếu mệnh đề sai, hãy sửa cho đúng.

Hướng dẫn:

Dễ thấy rằng, với a = b = c = 0 thì phương trình trở thành:

$0.x^{2}+0x+0=0$ có vô số nghiệm.

Vậy mệnh đề là sai. 

Sửa lại: "Phương trình bậc hai $ax^{2}+bx+c=0$ có nhiều nhất hai nghiệm"