I. Quan hệ chia hết

1. Khái niệm về chia hết

Hoạt động 1:

a) 

+ 42 : 6 =  7

+ 45 : 6 = 7 dư 3.

b) 

+ 42 = 6 .7 nên 42 chia hết cho 6.

+ Do 45 chia cho 6 dư 3 nên 45 không chia hết cho 6.

Kết luận:

Cho hai số tự nhiên a và b ( b ≠ 0).

Nếu có số tự nhiên q sao cho a = b.q thì ta nói a chia hết cho b.

Khi a chia hết cho b, ta nói a là bội của b và b là ước của a.

* Lưu ý:

- Nếu số dư trong phép chia a cho b bằng 0 thì a chia hết cho b, kí hiệu a b.

- Nếu số dư trong phép chia a cho b khác 0 thì a không chia hết cho b, kí hiệu a ⋮̸ b.

Ví dụ 2:

a) Hai số là bội của 7 là : 21;  56.

b) Hai số là ước của 12 là: 2 ;  3.

* Lưu ý:

Với a là số tự nhiên khác 0 thì:

• a  là ước của a.

• a là bội của a.

• 0 là bội của a.

• 1 à ước của a.

Luyện tập 1:

Ví dụ: ngày 15 tháng 9

Một ước của 15 là 5

Hai bội của 9 là 18 và 27.

2. CÁCH TÌM BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ

Hoạt động 2:

a) 9.0 = 0 ; 9.1 = 9 ; 

9.2 = 18; 9.3 = 27; 

9.4 = 36 ; 9.5 = 45 ; 

9.6 = 54 .

b) Bội của 9 là: 0; 9 ; 18; 27; 36; 45;  54.

Kết luận:

Để tìm bội của n ( n ∈N*) ta có thể lần lượt nhân n với 0, 1, 2, 3,…

Khi đo kết quả nhận được đều là bội của n.

Ví dụ 3:

Có: 6 . 0 = 0 ; 6.1 = 6 ;

6.2 = 12 ; 6.3  = 18 ;

6.4 = 24 ; 6.5 = 30 ;

6.6 = 36 ; 6.7 =42

=>  Tám bội của 6 là: 0 ; 6 ;  12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42.

Luyện tập 2:

a) Các bội nhỏ hơn 30 của 8 là: 0, 8, 16, 24.

b) Các bội có hai chữ số của 11 là: 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.

Hoạt động 3:

a) 8 : 1 =  8 ; 

8 : 2 = 4 ;        

8 : 3 = 2 (dư 2) ;        

8 : 4 = 2 ;           

8 : 5 = 1 (dư 3) ;

8 : 6  = 1 (dư 2) ;

8 : 7  = 7 (dư 1) ;

8 : 8  = 1 .

b)  Các ước của 8 là: 1; 2; 4; 8.

Kết luận:

Để tìm các ước của số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có thể lần lượt chia n cho các số tự nhiên từ 1 đến n. Khi đó, các phép chia hết cho ta số chia là ước của n.

Luyện tập 3:

Thực hiện phép chia số 25 cho các số tự  nhiên từ 1 đến 25. Các phép chia hết là:

25  : 1 = 25

25 : 5 = 5

25 : 25 = 1

= > Các ước của 25 là 1, 5, 25.

II. TÍNH CHẤT CHIA HẾT

1. Tính chất chia hết của một tổng

Hoạt động 4:

Kết luận:

Nếu tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

* Lưu ý:

Nếu a m và b m thì ( a + b) m; 

Khi đó ta có:

(a + b) : m = a : m + b : m

Hoạt động 4:

A =1930 + 1945 + 1975 

Có 1930 5

1945 5

1975 5

=> A = (1930 + 1945 + 1975) 5.

2. Tính chất chia hết của một hiệu

Hoạt động 5:

Kết luận:

Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho cùng một số thì hiệu chia hết cho số đó.

* Lưu ý:

Với a ≥  b:

Nếu  a m và b m thì (a – b) m.

Khi đó  ta có (a – b) : m = a : m - b : m

Luyện tập 5:

A = 2020 - 1820

Có 2020 20

1820 20

=> A = (2020 - 1820) 20

3. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TÍCH

Hoạt động 6:

Kết luận:

Nếu một thừa số của tích chia hết cho một số thì tích chia hết cho số đó.

* Lưu ý:

Nếu a ⋮  m thì (a.b) ⋮  m với mọi số tự nhiên b.

Ví dụ 7:

a) A = 49 . 2021

Ta có: 49 7 => A = 49 . 2021 ⋮  7.

b) B = 99 999 . 65 

Ta có: 65 ⋮  13 

=> B = 99 999 . 65⋮   13

Luyện tập 6:

A = 36. 234 + 217. 24 – 54.13

Có 36 6 => 36. 234 ⋮  6

24 6 => 217 . 24 ⋮  6

54 6 => 54.13 ⋮  6

=> A = 36. 234 + 217. 24 – 54.13 ⋮  6