CHƯƠNG VIII. ĐẠI SỐ TỔNG HỢP

BÀI 24. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP

1. HOÁN VỊ

HĐ1: 

a) Cách 1: Hà, Mai, Nam, Đạt.

Cách 2: Hà, Mai, Đạt, Nam.

Cách 3: Hà, Đạt, Mai, Nam

b. Số cách chọn vị trí cho bạn thứ nhất là 4,

Số cách chọn vị trí cho bạn thứ hai là 3, 

Số cách chọn vị trí cho bạn thứ ba là 2,

Số cách chọn vị trí cho bạn thứ tư là 1.

Vậy số cách sắp xếp thứ tự 4 bạn là: 4.3.2.1 = 24 cách.

Kết luận:

Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên, n≥1).

Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là Pn được tính bằng công thức:

P$_{n}$=n.(n-1).(n-2).....2.1

Chú ý: P$_{n}$= n!

Quy ước: 0! = 1.

Ví dụ 1 (SGK -tr 67).

Luyện tập 1:

Số cách xếp các vận động viên vào các đường chạy là một hoán vị của 6 phần tử.

Vậy số cách sắp xếp là P$_{6}$=6!=720 cách.

2. CHỈNH HỢP

HĐ2: 

a) Các cách chọn 2 bạn từ 4 bạn là: Tuấn – Hương, Tuấn – Việt, Tuấn – Dung, Hương – Việt, Hương – Dung, Việt – Dung. Vậy có 6 cách chọn thỏa mãn đề bài.

b) Số cách chọn bạn thứ nhất là 4 cách.

Số cách chọn bạn thứ hai là 3 cách.

Vậy có tất cả 4 . 3 = 12 cách.

Kết luận:

Mỗi chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 $\leq $  k $\leq $ n).

Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là Ank, được tính bằng công thức:

A$_{n}^{k}$ = n(n – 1)…(n – k +1).

hay A$_{n}^{k}$=$\frac{n!}{(n-k)!}$(1≤k≤n).

Ví dụ 2 (SGK -tr68)

Chú ý: 

- Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.

- Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy A$_{n}^{n}$ = P$_{n}$

Luyện tập 2:

Số kết quả có thể xảy ra khi chỉ quan tâm đến ba con ngựa về đầu trong 12 con ngựa là một chỉnh hợp chập 3 của 12. Vậy số kết quả là:

A$_{12}^{3}$=$\frac{12!}{9!}$=1320 kết quả.

3. TỔ HỢP

HĐ3:

a. Ở HĐ2a ta chỉ chọn 2 bạn từ 4 bạn, còn ở HĐ2b ta chọn 2 bạn và sắp xếp thứ tự 2 bạn.

b. Kết quả ở câu HĐ2b là chỉnh hợp chập 2 của 4 phần từ, nên số cách chọn là: A$_{4}^{2}$=12

Vì không phải sắp thứ tự hai bạn nên số cách tính ở HĐ2a là: 12 : 2 = 6 cách.

Kết luận: 

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0≤k≤n)

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là C$_{n}^{k}$, được tính bằng công thức:

C$_{n}^{k}$=$\frac{n!}{(n-k)!k!}$(0≤k≤n).

Chú ý: 

+ C$_{n}^{k}$=$\frac{A_{n}^{k}}{k!}$

+ Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

Ví dụ 3 (SGk – tr68)

Luyện tập 3:

Chọn 2 câu trong 20 câu lí thuyết là tổ hợp chập 2 của 20 phần tử, nên số cách chọn là:

 C$_{2}^{20}$=$\frac{20!}{(20-2)!2!}$=190 cách.

Chọn 3 câu trong 40 câu bài tập là tổ hợp chập 3 của 40 phần tử, nên số cách chọn là: 

C$_{3}^{40}$=$\frac{40!}{(40-3)!3!}$=9880 cách. 

Số cách chọn 5 câu hỏi theo đề bài là: 190.9880 = 1 877 200 cách.

4. ỨNG DỤNG HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP VÀO CÁC BÀI TOÁN

Ví dụ 4 (SGK -tr69)

Ví dụ 5 (SGK – tr69)

Vận dụng:

a. Chọn 6 thành viên từ 20 học sinh là tổ hợp chập 6 của 20 phần tử, số cách chọn là: C$_{6}^{20}$=$\frac{20!}{(20-6)!6!}$= 38760 cách.

b. Theo a, chọn 6 thành viên trong 20 học sinh, số cách là: C$_{6}^{20}$ = 38760 cách.

Chọn 1 trưởng ban từ 6 thành viên có: 6 cách.

Chọn 1 phó ban từ 6 thành viên, trừ bỏ thành viên trưởng ban có: 5 cách.

Vậy số cách chọn 1 trường ban, 1 phó ban, 4 thành viên là:

 38760 . 6 . 5 = 1 162 800 cách.

5. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Ví dụ: Tính 

a) 8!

b) A$_{8}^{3}$ 

c) C$_{8}^{3}$

Giải:

a) 8! = 40320

b) A$_{8}^{3}$ = 336

c) C$_{8}^{3}$ = 56