A. Tổng hợp kiến thức

I. Nguyên hàm và tính chất

1. Nguyên hàm

• Cho hàm số f(x) xác định trên K.
• Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi $x\in K$.

Định lí 1

• Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

Định lí 2

• Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
• Ký hiệu: $\int f(x)dx=F(x)+C$

                         Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x).

2. Tính chất nguyên hàm

Tính chất 1

Tính chất 2

Tính chất 3

Chú ý: Sự tồn tại của nguyên hàm

• Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

3. Bảng nguyên hàm

II. Phương pháp tính nguyên hàm

1. Phương pháp đổi biến số 

Định lí 1

• Nếu $\int f(u)du=F(u)+C$ và $u=u(x)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì $\int f(u(x))u'(x)dx=F(u(x))+C$

Hệ quả

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lí 2

• Nếu hai hàm số $u=u(x)$ và $v=v(x)$ có đạo hàm liên tục trên K thì:

• Hay: $\int udv=uv-\int vdu$  với $ v'(x)dx=dv,u'(x)dx=du$