Câu 61. Tính một cách hợp lí:

a) (2021 - 39) + [(-21) + (-61)]

b) (-652) - {(-547) - 352 - [(-147) - (-735) + (2200 + 65)]}

c) (-16).125.[(-3).2$^{2}$].5$^{3}$ - 2.10$^{6}$

d) (134 - 34).(-28) + 72.[(-55) - 45]

Trả lời:

a) (2021 - 39) + [(-21) + (-61)]

= [2021 + (-21)] + [-39 + (-61)]

= 2000 - 100

= 1900

b) (-652) - {(-547) - 352 - [(-147) - (-735) + (2200 + 65)]}

= [(-652) + 352] + (547 - 147) + (735 + 2265)

= (-300) + 400 + 3000

= 3100

c) (-16).125.[(-3).2$^{2}$].5$^{3}$ - 2.10$^{6}$

= (-8).125.2.2$^{2}$.5$^{3}$.(-3) - 2.10$^{6}$

= (-1000).1000.(-3) - 2.1000000

= 3.1000000 - 2.1000000

= 1000000

d) (134 - 34).(-28) + 72.[(-55) - 45]

= 100.(-28) + 72.(-100)

= (-100).(28 + 72)

= -10000

Câu 62. Tìm số nguyên x, biết:

a) (-300) : 20 + 5.(3x - 1) = 25

b) (5.13)$^{x}$ = 25.(5$^{3}$ + 4.11)$^{2}$ : (3$^{4}$ - 3$^{5}$ : 3$^{3}$ + 97) (x $\geq $ 0)

c) (x - 5).(3x - 6) = 0

d) (2x + 1)$^{2}$.(x - 6) > 0

e) (x + 1).(x - 4) < 0

Trả lời:

a) (-300) : 20 + 5.(3x - 1) = 25

<=> -15 + 5.(3x - 1) = 25

<=> 5.(3x - 1) = 40

<=> 3x - 1 = 8

<=> 3x = 9

<=> x = 3

b) (5.13)$^{x}$ = 25.(5$^{3}$ + 4.11)$^{2}$ : (3$^{4}$ - 3$^{5}$ : 3$^{3}$ + 97) (x $\geq $ 0)

<=> (5.13)$^{x}$ = 25.169$^{2}$ : 169

<=> (5.13)$^{x}$ = 25.169

<=> (5.13)$^{x}$ = (5.13)$^{2}$

<=> x = 2

c) (x - 5).(3x - 6) = 0

<=> x - 5 = 0 hoặc 3x - 6 = 2

<=> x = 5 hoặc x = 2

d) (2x + 1)$^{2}$.(x - 6) > 0

Do (2x + 1)$^{2}$ > 0 với mọi số nguyên x nên x - 6 > 0

<=> x > 6

Vậy x $\in $ {7; 8; 9; 10; ...}

e) (x + 1).(x - 4) < 0

Do x + 1 > x - 4 nên (x + 1).(x - 4) < 0 thì x + 1 > 0 và x - 4 < 0

<=> x > -1 và x < 4

<=> x $\in $ {0; 1; 2; 3}

Câu 63. Tìm các giá trị thích hợp của chữ số a, sao cho:

a) $\overline{a40}$ : 10 < 23

b) (-820) : 5.2$^{2}$ $\leq $ $\overline{4a}$

c) $\overline{a98}$ $\leq $ 4340 : 5 < $\overline{8a0}$

Trả lời:

a) $\overline{a40}$ : 10 < 23

Suy ra $\overline{a40}$ < 230

Do đó a = 1

b) (-820) : 5.2$^{2}$ $\leq $ $\overline{4a}$

Do (-820) : 5.2$^{2}$ < 0 mà $\overline{4a}$ > 0 với mọi a nên (-820) : 5.2$^{2}$ $\leq $ $\overline{4a}$ luôn đúng với mọi a.

c) $\overline{a98}$ $\leq $ 4340 : 5 < $\overline{8a0}$

<=> $\overline{a98}$ $\leq $ 868 < $\overline{8a0}$

Do đó a < 8 và 6 < a.

Vậy a = 7

Câu 64. Tính A - B, biết rằng A là tích của các số nguyên âm chẵn có một chữ số và B là tổng của các số nguyên dương lẻ có hai chữ số.

Trả lời:

A = (-2).(-4).(-6).(-8) = 384

B = 11 + 13 + 15 + ... + 97 + 99 = 45.(99 + 11) : 2 = 2475

Vậy A - B = 384 - 2475 = -2091

Câu 65. Bạn Nam muốn điền các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 vào các ô trống ở bảng bên sao cho tổng các số ở mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo bằng nhau. Tính tổng bốn số ở bốn ô được tô đậm.

Trả lời:

Tổng các số ở chín ô là: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 8 + 9 = 45

Tổng các số ở mỗi hàng, mỗi cột bằng nhau và bằng: 45 : 3 = 15

Tổng các số ở hai hàng có ô được tô đậm bằng: 15.2 = 30

Ở cột thứ ba, tổng của hai số ở hai ô trắng còn lại là : 15 - 7 = 8

Vậy tổng bốn số ở bốn ô được tô đậm bằng: 30 - 8 = 22

Câu 66. Cho bảng 3 x 3 ô vuông.

a) Viết 9 số nguyên khác 0 vào 9 ô của bảng. Biết rằng tích các số ở mỗi dòng đều là số nguyên âm. Chứng tỏ rằng luôn tồn tại một cột mà tích các số ở cột ấy là số nguyên âm.

b) Có thể điền được hay không 9 số nguyên vào 9 ô của bảng sao cho tổng các số ở ba dòng lần lượt bằng -15, -18, 78 và tổng các số ở ba cột lần lượt bằng 24, -12, 65?

Trả lời:

Giả sử trong cả ba cột, tích các số ở mỗi cột đều là số nguyên dương thì tích 9 số của bảng là số nguyên dương (1)

Theo đề bài, tích các số ở mỗi dòng là số nguyên âm nên tích các số ở bảng là số nguyên âm, mâu thuẫn với (1)

Do đó tồn tại một cột mà tích các số ở cột ấy là số nguyên âm.

b) Không thể điền được

Do tổng 9 số của bảng tính theo tổng các số ở ba dòng bằng (-15) + (-18) + 78 chia hết cho 3

Trong khi tổng 9 số của bảng tính theo tổng các số ở ba cột bằng 24 + (-12) + 65 lại không chia hết cho 3.

Câu 67. Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n:

a) n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 2 và 3

b) n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) chia hết cho 3 và 8

Trả lời:

a) Đặt a = n.(n + 1).(n + 2)

+)

• Nếu n chẵn thì n chia hết cho 2 nên a chia hết cho 2
• Nếu n lẻ thì n + 1 chia hết cho 2 nên a chia hết cho 2

+)

• Nếu n chia hết cho 3 thì a chia hết cho 3
• Nếu n chia cho 3 dư 1 thì n + 2 chia hết cho 3, nên a chia hết cho 3
• Nếu n chia cho 3 dư 2 thì n + 1 chia hết cho 3, nên a chia hết cho 3

Vậy n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 2 và 3

b) Theo câu a ta có n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 3 nên n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) chia hết cho 3

Nhận xét: tích 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8

Nếu n lẻ thì n + 1 và n + 3 là hai số tự nhiên chẵn liên tiếp nên (n + 1).(n + 3) chia hết cho 8

Do đó n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) chia hết cho 8

Nếu n chẵn thì n và n + 2 là hai số tự nhiên chẵn liên tiếp nên n.(n + 2) chia hết cho 8

Vậy n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) chia hết cho 3 và 8

Câu 68. a) Có tồn tại số tự nhiên n để n$^{2}$ + n + 2 chia hết cho 5 hay không?

b) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n vừa là tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp, vừa là tổng của 7 số tự nhiên liên tiếp

Trả lời:

a) Xét:

+) n chia hết cho 5 thì n$^{2}$ chia hết cho 5 nên n$^{2}$ + n + 2 không chia hết cho 5

+) n chia 5 dư 1 thì n$^{2}$ chia cho 5 dư 1 nên n$^{2}$ + n + 2 chia 5 dư 4 nên không chia hết cho 5

+) n chia 5 dư 2  thì n$^{2}$ chia cho 5 dư 4 nên n$^{2}$ + n + 2 chia 5 dư 3 nên không chia hết cho 5

+) n chia 5 dư 3 thì n$^{2}$ chia cho 5 dư 4 nên n$^{2}$ + n + 2 chia 5 dư 4 nên không chia hết cho 5

+) n chia 5 dư 4 thì n$^{2}$ chia cho 5 dư 1 nên n$^{2}$ + n + 2 chia 5 dư 2 nên không chia hết cho 5

Do đó không tồn tại số tự nhiên n để n$^{2}$ + n + 2 chia hết cho 5 

b) Ta gọi số cần tìm là a.

Khi đó:

a = n + (n + 1) + (n + 2) +(n + 3) + (n + 4) = 5n + 10 chia hết cho 5 

a = m + (m + 1) + ... + (m + 6) = 7m + 21 chia hết cho 7

Suy ra a chia hết cho 5 và 7.

Mà a nhỏ nhất nên a = BCNN(5, 7) = 35

Câu 69. Tìm số nguyên x, biết:

a) 2x - 1 là bội số của x - 3

b) 2x + 1 là ước của 3x + 2

c) (x - 4).(x + 2) + 6 không là bội của 9

d) 9 không là ước của (x - 2).(x + 5) + 11

Trả lời:

a) 2x - 1 là bội số của x - 3 suy ra 2(x - 3) + 5 là bội của x - 3 nên 5 là bội của x - 3

Hay x - 3 là ước của 5

Ta có bảng:

Vậy x $\in $ {-2; 2; 4; 8}

b) 2x + 1 là ước của 3x + 2 suy ra 2.(3x + 2) là bội của 2x + 1 hay 3(2x + 1) + 1 chia hết cho 2x + 1

Suy ra 1 chia hết cho 2x + 1 hay 2x + 1 là ước của 1

Ta có bảng:

Vậy x $\in $ {-1; 0}

c) A = (x - 4).(x + 2) + 6 không là bội của 9

Với x là số nguyên ta xét:

x = 3k (k nguyên) thì A = (3k - 4).(3k + 2) + 6 không là bội của 3 nên A không là bội của 9

x = 3k + 1 thì A = (3k - 3).(3k + 3) + 6 = 9(k + 1)(k - 1)  + 6 không chia hết cho 9 nên A không là bội của 9

x = 3k + 2 thì A = (3k - 2).(3k + 4) + 6 không là bội của 3 nên không là bội của 9

Vậy với mọi số nguyên x thì (x - 4).(x + 2) + 6 không là bội của 9

d) 9 không là ước của (x - 2).(x + 5) + 11

Chứng minh tương tự câu c)

Câu 70. Tìm số nguyên a, b, sao cho:

a) (2a - 1).(b$^{2}$ + 1) = -17

b) (3 - a).(5 - b) = 2

c) ab = 18, a + b = 11

Trả lời:

a) Ta có (2a - 1).(b$^{2}$ + 1) = -17 suy ra b$^{2}$ + 1 là ước của -17.

Mà b$^{2}$ + 1 lớn hơn 0 nên b$^{2}$ + 1 = 1 hoặc b$^{2}$ + 1 = 17

Ta có bảng giá trị:

b) (3 - a).(5 - b) = 2 nên 3 - a và 5 - b là ước của 2. Ta có bảng giá trị:

c) ab = 18, a + b = 11

Xét các cặp số nguyên (a; b) với ab = 18 thì có các cặp (a; b) thỏa mãn a + b = 11 là (9; 2), (2; 9)

Câu 71. Tìm số nguyên x, sao cho:

a) A = x$^{2}$ + 2021 đạt giá trị nhỏ nhất

b) B = 2022 - 20x$^{20}$ - 22x$^{22}$ đạt giá trị lớn nhất.

Trả lời:

a) Ta có : A = x$^{2}$ + 2021 $\geq $ 0 + 2021 Hay A $\geq $ 2021 (do x$^{2}$ $\geq $ 0 với mọi x)

Do đó A đạt giá trị nhỏ nhất khi x$^{2}$ = 0 <=> x = 0

b) Ta có: B = 2022 - 20x$^{20}$ - 22x$^{22}$ $\leq $ 2022 - 0 - 0 Hay B $\leq $ 2022 (do x$^{20}$ $\geq $ 0 và x$^{22}$ $\geq $ 0 với mọi x)

Do đó B đạt giá trị lớn nhất khi  x$^{20}$ = 0 và  x$^{22}$ = 0 <=> x = 0