Câu 66. Cho các số 23, 45, 714, 815, 2300, 2369, 13110, 25555, 4123458. Trong các số đó:

a) Số nào chia hết cho 2?

b) Số nào chia hết cho 5?

c) Số nào chia hết cho 2, nhưng không chia hết cho 5?

d) Số nào chia hết cho 5, nhưng không chia hết cho 2?

Trả lời:

a) Các số chia hết cho 2 là 714, 2300, 13110, 4123458.

b) Các số chia hết cho 5 là 45, 815, 2300, 13110, 25555

c) Các số chia hết cho 2, nhưng không chia hết cho 5 là 714, 4123458.

d) Các số chia hết cho 5, nhưng không chia hết cho 2 là 45, 815, 25555

Câu 67. Tìm chữ số x để số $\overline{5x80}$ thỏa mãn mỗi điều kiện sau:

a) Chia hết cho 2

b) Chia hết cho 5

c) Chia hết cho cả 2 và 5

Trả lời:

Số $\overline{5x80}$ có tận cùng bằng 0 nên luôn chia hết cho cả 2 và 5.

Vậy với mọi số tự nhiên x < 10 thì $\overline{5x80}$ chia hết cho 2, chia hết cho 5 và chia hết cho cả 2 và 5.

Câu 68. Tìm chữ số x để số $\overline{x987}$ thỏa mãn mỗi điều kiện sau:

a) Chia hết cho 2

b) Chia hết cho 5

Trả lời:

Vì số $\overline{x987}$ có tận cùng là 7 nên $\overline{x987}$ không chia hết cho 2; không chia hết cho 5 với mọi chữ số x.

Vậy không tìm được chữ số x thỏa mãn.

Câu 69. Tìm chữ số x để số $\overline{2345x8}$ thỏa mãn mỗi điều kiện sau:

a) Chia hết cho 4

b) Chia hết cho 8

Trả lời:

a) Ta có: $\overline{2345x8}$ = 234508 + 10x

Có: 234508 chia hết cho 4 nên để $\overline{2345x8}$ chia hết cho 4 thì 10x chia hết cho 4

Do đó x $\in $ {0; 2; 4; 6; 8}

b) $\overline{2345x8}$ = 234504 + 4 + 10x

Có 234504 chia hết cho 8 nên để $\overline{2345x8}$ chia hết cho 8 thì 10x + 4 chia hết cho 8

Do đó x $\in $ {2; 6}

Câu 70. Từ các chữ số 0, 5, 7, hãy viết tất cả các số có ba chữ số khác nhau sao cho:

a) Các số đó chia hết cho 2

b) Các số đó chia hết cho 5

c) Các số đó chia hết cho 5, nhưng không chia hết cho 2

d) Các số đó chia hết cho cả 2 và 5

Trả lời:

Tất cả các số có ba chữ số khác nhau được viết từ các chữ số 0, 5, 7 và:

a) Chia hết cho 2 là: 570; 750

b) Chia hết cho 5 là: 570; 705; 750

c) Chia hết cho 5, nhưng không chia hết cho 2 là: 705

d) Chia hết cho cả 2 và 5 là: 570; 750

Câu 71. Không tính các giá trị biểu thức, hãy giải thích tại sao mỗi biểu thức sau chia hết cho 2:

a) A = 1234 + 42312 + 5436 + 10988

b) B = 2335 + 983333 + 3142311 + 5437

c) C = 11 + 22 + 33 + ... + 88 + 99 + 2021

d) D = 8.51.633.445 - 777.888 + 2020

Trả lời:

a) A = 1234 + 42312 + 5436 + 10988

A là tổng của các số hạng chia hết cho 2 nên A chia hết cho 2

b) B = 2335 + 983333 + 3142311 + 5437

B là tổng của 4 số lẻ nên B chia hết cho 2

c) C = 11 + 22 + 33 + ... + 88 + 99 + 2021

       = (11 + 33 + 55 + 77 + 99 + 2021) + (22 + 44 + 66)

Có 11 + 33 + 55 + 77 + 99 + 2021 là tổng của 6 số lẻ nên chia hết cho 2

      22 + 44 + 66 là tổng của 3 số chẵn nên chia hết cho 2

Vậy C chia hết cho 2

d) D = 8.51.633.445 - 777.888 + 2020

Có 8.51.633.445 chia hết cho 2 do 8 chia hết cho 2

     777.888 chia hết cho 2 do 888 chia hết cho 2

     2020 là số chẵn nên chia hết cho 2

Do đó D chia hết cho 2

Câu 72. Tìm số tự nhiên có ba chữ số giống nhau, biết rằng số đó không chia hết cho 2, nhưng chia hết cho 5

Trả lời:

Nhận xét : Một số không chia hết cho 2 nhưng chia hết cho 5 thì có tận cùng là 5.

Mà số cần tìm có 3 chữ số giống nhau nên số cần tìm là 555

Câu 73. a) Có bao nhiêu số có hai chữ số chia cho 5 dư 4?

b) Có bao nhiêu số có ba chữ số chia cho 2 và cho 5 có cùng số dư?

c) Từ 1 đến 555 có bao nhiêu số chia hết cho 2?

d) Từ 500 đến 1000 có bao nhiêu số chia hết cho 5?

Trả lời:

a) Các số có hai chữ số chia cho 5 dư 4 là: 14; 19; 24; ...; 94; 99

Vậy số các số có hai chữ số chia cho 5 dư 4 là:

   (99 - 14) : 5 + 1 = 18 (số)

b) Một số chia cho 2 sẽ có số dư là 0 hoặc 1; chia cho 5 sẽ có số dư là 0, 1, 2, 3, 4.

Do đó một số chia cho 2 và 5 có cùng số dư thì số đó phải chia hết cho cả 2 và 5 hoặc chia cho 2 và 5 có số dư cùng là 1.

+) Số đó chia hết cho cả 2 và 5 thì các số đó là: 100; 110; 120; ...; 980; 990

Có: (990 - 100) : 10 + 1 = 90 (số)

+) Số đó chia cho cả 2 và 5 có cùng số dư là: 101; 111; 121; ...; 991

Có : (991 - 101) : 10 + 1 = 90 (số)

Vậy số các số có ba chữ số chia cho 2 và 5 có cùng số dư là:

90 + 90 = 180 (số)

c) Số các số chia hết cho 2 từ 1 đến 555 là: (554 - 2) : 2 + 1 = 277 (số)

d) Số các số chia hết cho 5 từ 500 đến 1000 là: (1000 - 500) : 5 + 1 = 101  (số)

Câu 74. Một cửa hàng mĩ phẩm miễn thuế ở sân bay có khuyến mãi như sau: Khách cứ mua 10 hộp mĩ phẩm thì được tặng 1 hộp. Mỗi hộp có giá 53 USD. Công ty A mua 48 hộp mĩ phẩm ở cửa hàng đó. Hỏi số USD công ty A phải trả để mua 48 mĩ phẩm trên có chia hết cho 5 không? Vì sao?

Trả lời:

Vì khách mua 10 hộp mĩ phẩm thì được tặng 1 hộp nên nếu mua 40 hộp thì được tặng 4 hộp.

Do đó khi mua 48 hộp thì số tiền chỉ phải trả cho 44 hộp.

Số tiền công ty A phải trả là: 44 x 53 = 2332 (USD)

Do 2332 không chia hết cho 5 nên số USD công ty A phải trả không chia hết cho 5.

Câu 75. Chứng tỏ rằng:

a) Tổng của 2020 số lẻ bất kì luôn chia hết cho 2

b) $11^{11}$ + $22^{22}$ + $33^{33}$ + $44^{44}$ + $55^{55}$ không chia hết cho 2.

c) 2 + $2^{2}$ + $2^{3}$ + ... + $2^{59}$ + $2^{60}$ + $2^{61}$ chia hết cho 5.

Trả lời:

a) Tổng của 2020 số lẻ bất kì luôn là 1 số chẵn nên chia hết cho 2

b) Tích của các số lẻ luôn là một số lẻ nên $11^{11}$; $33^{33}$; $55^{55}$ là các số lẻ do đó tổng $11^{11}$ + $33^{33}$ + $55^{55}$ là một số lẻ

Tích của các số chẵn luôn là một số chẵn nên $22^{22}$; $44^{44}$ là các số chẵn do đó tổng $22^{22}$ + $44^{44}$ là một số chẵn

Vậy tổng $11^{11}$ + $22^{22}$ + $33^{33}$ + $44^{44}$ + $55^{55}$ là một số lẻ và không chia hết cho 2.

c) Ta có:

    2 + $2^{2}$ + $2^{3}$ + ... + $2^{59}$ + $2^{60}$ + $2^{61}$

= (2 + $2^{2}$ + $2^{3}$ + $2^{4}$) + ($2^{5}$ + $2^{6}$ + $2^{7}$ + $2^{8}$) + ... ($2^{57}$ + $2^{58}$ + $2^{59}$ + $2^{60}$)

= 2.(1 + $2^{1}$ + $2^{2}$ + $2^{3}$) + $2^{5}$.(1 + $2^{1}$ + $2^{2}$ + $2^{3}$) + ... + $2^{57}$.(1 + $2^{1}$ + $2^{2}$ + $2^{3}$)

= 2.15 +  $2^{5}$.15 + ... +  $2^{57}$.15

= 15.(2 + $2^{5}$ + ... + $2^{57})

Do 15 chia hết cho 5 nên 15.(2 + $2^{5}$ + ... + $2^{57}) chia hết cho 5

Vậy 2 + $2^{2}$ + $2^{3}$ + ... + $2^{59}$ + $2^{60}$ + $2^{61}$ chia hết cho 5.

Câu 76. Bạn Duyên sử dụng các khối lập phương để xếp hình. Các hình bạn Duyên xếp được qua các lần được biểu diễn như dưới đây:

Hỏi số khối lập phương bạn Duyên dùng cho lần sếp hình thứ 100 có chia hết cho cả 2 và 5 không?

Trả lời:

Dựa vào những lần xếp các khối lập phương của bạn Duyên ta thấy số khối lập phương dùng cho lần 1, lần 2, lần 3, ..., lần 100 lần lượt là:

1

1 + 2

1 + 2 + 3

1 + 2 + 3 + 4

...

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100

Số khối lập phương bạn Duyên dùng cho lần xếp hình thứ 100 là:

(1 + 100).100 : 2 = 5050 (khối lập phương)

Ta thấy 5050 chia hết cho cả 2 và 5 nên số khối lập phương bạn Duyên dùng cho lần xếp hình thứ 100 chia hết cho cả 2 và 5.