Giải bài 7.36 bài tập cuối chương VII

a. A₁ thuộc trục hoành nên y = 0 $\Rightarrow$ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{0^{2}}{b^{2}}=1$

$\Leftrightarrow$ x² = a².

Do hoành độ của  A₁ nhỏ hơn hoành độ của A₂ nên A₁(-a; 0) và A₂(a; 0) 

b. Ta chứng minh: x² $\geq $ a²

Giả sử: x² $\geq $ a²

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}}\geq 1$ (luôn đúng)

Luôn đúng vì $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}}=1+\frac{y^{2}}{b^{2}}\geq 1$

• Nếu M thuộc nhánh bên trái trục tung thì x < 0 mà x² $\geq $ a² nên x $\leq $ -a.
• Nếu  M thuộc nhánh bên phải trục tung thì x > 0 mà x² $\geq $ a² nên x $\geq $ a.

c. Gọi M₁(x₁; y₁) thuộc nhánh bên trái nên x₁ < 0, M₂(x₂; y₂) thuộc nhánh bên phải nên x₂ > 0

Theo b ta có: x₁ $\leq $ -a và x₂ $\geq $ a nên |x₁| + |x₂| $\geq $ a + a = 2a.

Do x₁ < 0 và x₂ > 0 nên x₂ - x₁ = |x₂| + |x₁| $\geq $ a + a = 2a.

Ta có:  M₁M₂ = $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

Lại có: $(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}\geq \left ( |x_{2}|+|x_{1}| \right )^{2}+0\geq (2a)^{2}$

Nên  M₁M₂ $\geq $ A₁A₂

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M₁ trùng A₁ và M₂ trùng A₂.

Vậy để M₁M₂ nhỏ nhất thì M₁ trùng A₁ và M₂ trùng A₂.