Đáp án câu 4 đề 5 kiểm tra học kì 2 Toán 9

a, a, Ta có: $d \perp AC; P \in d \Rightarrow AC \perp CP \Rightarrow \widehat{ACP} = 90^{\circ}$

$\widehat{AMB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) $\Rightarrow \widehat{AMB} = 90^{\circ} \Rightarrow \widehat{AMP} = 90^{\circ}$

Xét tứ giác AMCP có: $\widehat{AMP} + \widehat{ACP} = 180^{\circ}$

$\Rightarrow$ tứ giác ACPM nội tiếp.

b, Tứ giác ACPM nội tiếp $\Rightarrow \widehat{CPA} = \widehat{AMC}$ (1)( cùng chắn cung AC) 

Mà $\widehat{AMC} = \widehat{AQN}$ (2)( do tứ giác AMNQ nội tiếp (O))

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{APC} = \widehat{AQN}$

$\Rightarrow CP // QN.

c,

1, $\Delta ABM$ vuông tại M $\Rightarrow AM^{2} + BM^{2} = AB^{2}$

$\Rightarrow BM^{2} = AB^{2} - AM^{2} = (2R)^{2} - (\frac{1}{2}R)^{2} = \frac{15}{4}R^{2}$

$\Leftrightarrow BM = \frac{\sqrt{15}}{2}R$

Khi quay tam giác vuông AMB một vòng quanh cạnh AM ta được hình nón với đường cao h = AM = $\frac{1}{2}R$, bán kính của đường tròn đáy là r = BM = $\frac{\sqrt{15}}{2}R$. Thể tích của hình nón là:

V = $\frac{1}{3}\pi .r^{2}.h = \frac{5\pi R^{3}}{8}$ (đvtt)

2, Có $CP \perp AB$; CP // QN $\Rightarrow $QN \perp AB$

Gọi H là giao điểm của AB và QN.

∆AEH $\sim $ ∆ABK (g.g) $\Rightarrow \frac{AE}{AB} = \frac{AH}{AK} \Rightarrow AE.AK = AB.AH$ (1)

∆BEH $\sim $ ∆BAM (g.g) $\Rightarrow \frac{BE}{BA} = \frac{BH}{BM} \Rightarrow BE.BM = AB.BH$ (2)

Từ (1), (2) $\Rightarrow AE.AK + BE.BM = AB.AH + AB.BH = AB (AH + HB) = AB.AB = 4R^{2}$

d,

Kẻ Nx là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác NKE tại N (Nx thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng NE chứa điểm A) (3)

Ta có: 

$\widehat{ENx} = \widehat{NKE}$

$\widehat{ENA} = \widehat{NKE}$

$\Rightarrow \widehat{ENx} = \widehat{ENA}$

$\Rightarrow $ tia Nx và NA trùng nhau.

$\Rightarrow $ NA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta NEK$ tại tiếp điểm N.

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta NEK$ $\Rightarrow AN \perp NI$, mà $AN \perp BN$

$\Rightarrow $ N, I, B thẳng hàng.