Dạng 1: Tìm toạ độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thoả mãn một số điều kiện cho trước

I. Phương pháp giải

Sử dụng các đỊnh nghĩa và khái niệm có liên quan đến vectơ : toạ độ của vectơ, độ dài của vectơ, … để phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng, tính tổng (hiệu) của hai vectơ, tính các toạ độ trọng tâm của một tam giác,…

II. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\vec{a}$ = (5 ; 7 ; 2), $\vec{b}$ = (3 ; 0 ; 4), $\vec{c}$ = (-6 ; 1 ; -1). Hãy tìm toạ độ của các vectơ sau đây :

a) $\vec{m}$ = 3$\vec{a}$ – 2$\vec{b}$ + $\vec{c}$ 

b) $\vec{n}$ = 5$\vec{a}$+ 6$\vec{b}$ + 4$\vec{c}$.

Bài giải:

a)Ta có:

$\vec{a} = (5 ; 7 ; 2)\Rightarrow  3\vec{a} = (15 ; 21; 6).$

$\vec{b} = (3 ; 0 ; 4)\Rightarrow -2\vec{b} = (-6; 0 ; -8)$

$\vec{c} = (-6 ; 1 ; -1)$

$\Rightarrow \vec{m}= 3\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c}=(3; 22; -3)$.

b) Ta có:

$\vec{a} = (5 ; 7 ; 2)\Rightarrow  5\vec{a} = (25; 35; 10).$

$\vec{b} = (3 ; 0 ; 4)\Rightarrow 6\vec{b} = (18; 0 ; 24)$

$\vec{c} = (-6 ; 1 ; -1)\Rightarrow 4\vec{b} = (-24; 4; -4)$

$\Rightarrow  \left | \vec{a} +\vec{b}  \right |=\sqrt{19}$

Bài tập 2:  Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ tạo với nhau một góc 120° và $|\vec{a}|=3,|\vec{b}|=5$ . Tìm  | + |.

Bài giải: 

Ta có:

$\left | \vec{a} +\vec{b}  \right |^{2}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a}.\vec{b})$

$=9+25+2.3.5.\cos (120^{\circ})$

$=9+25+2.3.5.\frac{-1}{2}=49$

$\Rightarrow  \left | \vec{a} +\vec{b}  \right |=\sqrt{19}$