A. Tổng hợp kiến thức

I. Tọa độ điểm và vectơ

Ta có: $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$

=> Bộ ba số ( x; y; z ) là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz .

     Ký hiệu: M = ( x; y; z ) hay M( x; y; z ).

Ta có: $\overrightarrow{a}=a_{1}\overrightarrow{i}+a_{2}\overrightarrow{j}+a_{3}\overrightarrow{k}$

=> Bộ ba số $( a_{1}; a_{2}; a_{3} )$ là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ với hệ trục tọa độ Oxyz .

     Ký hiệu: $\overrightarrow{a}=(a_{1};a_{2};a_{3})$ hay $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$.

II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

• Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ và $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$. Ta có:

==> Hệ quả:

III. Tích vô hướng

Định lí

• Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ và $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$ xác định bởi:

Ứng dụng

• Độ dài vectơ:

• Khoảng cách giữa hai điểm: Trong không gian Oxyz cho $A(x_{A},y_{A},z_{A})$  và $B(x_{B},y_{B},z_{B})$, ta có:

• Góc giữa hai vectơ: Góc giữa $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ và $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$ là $\varphi $

• Đặc biệt: 

IV. Phương trình mặt cầu

Định lí

• Trong không gian Oxyz, mặt cầu S có tâm I( a; b; c ) bán kính r có phương trình là: