BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 

I. LI ĐỘ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1. Phương trình li độ của vật dao động

* Thảo luận 1 (SGK – tr14)

Quỹ đạo của vật nặng trong con lắc lò xo khi dao động là một đoạn thẳng, trong khi đó đồ thị li độ của vật dao động theo thời gian là một đường dạng sin.

* Kết luận

- Phương trình li độ của vật dao động điều hòa có dạng:

x=Acos(ωt+$\varphi _{0}$)

Trong đó:

+ x, A lần lượt là li độ và biên độ dao động của vật, trong hệ SI có đơn vị là m.

+ là tần số góc của dao động, trong hệ SI có đơn vị là rad/s.

+ φ=ωt+$\varphi _{0}$ là pha của dao động tại thời điểm t, trong hệ SI có đơn vị là rad.

+ $\varphi _{0}$ là pha ban đầu của dao động, trong hệ SI có đơn vị là rad.

2. Độ dịch chuyển của vật dao động

- Tại một thời điểm bất kì, độ dịch chuyển của vật dao động so với vị trí ban đầu được xác định bởi công thức:

d=∆x=x-x$_{0}$=Acos(ωt+$\varphi _{0}$)-Acos$\varphi _{0}$

- Ta thấy độ dịch chuyển so với vị trí ban đầu của vật cũng biến thiên điều hòa theo thời gian cùng biên độ, chu kì và pha với li độ của vật dao động.

*Luyện tập (SGK – tr15)

a) Biên độ dao động A = 0,2 cm, chu kì dao động T = 0,4 s, tần số dao động f = 2,5 Hz, tần số góc ω=5π rad/s.

b) Li độ của vật tại các thời điểm t$_{1}$, t$_{2}$, t$_{3}$ ứng với các điểm A, B, C trên đường đồ thị lần lượt là: -0,1 cm, -0,2 cm, 0 cm.

c) Độ dịch chuyển so với vị trí ban đầu tại các thời điểm t$_{1}$, t$_{2}$, t$_{3}$ trên đường đồ thị cũng chính bằng li độ của chúng vì gốc thời gian được chọn lúc vật đi qua vị trí cân bằng.

II. VẬN TỐC TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1. Phương trình vận tốc của vật dao động

*Thảo luận 2 (SGK – tr15)

a) Đồ thị vận tốc – thời gian của vật dao động điều hòa cũng có dạng hình sin như đồ thị li độ - thời gian.

b) Từ đồ thị trong Hình 2.3 SGK, ta thấy rằng vận tốc của vật dao động điều hòa có cùng chu kì với li độ của vật.

c) Từ đồ thị trong các Hình 2.3a và 2.3b SGK, ta lần lượt xác định được biên độ dao động là A = 0,44 cm và tốc độ cực đại của vật là v$_{max}$ = 4,2 cm/s. Ta thấy rằng tích số giữa tần số góc và biên độ dao động là ωA=4,20 cm/s, xấp xỉ giá trị của tốc độ cực đại v$_{max}$. Do đó, ta có thể dự đoán mối liên hệ giữa tốc độ cực đại và biên độ dao động của vật là  v$_{max}$=ωA.

d) Ta thấy rằng sau khoảng thời gian ∆t=$\frac{T}{4}$, li độ có cùng trạng thái dao động với vận tốc. Độ lệch pha của chúng là ∆φ=2π.$\frac{∆t}{T}$=$\frac{π}{2}$ rad.

2. Kết luận

- Phương trình vận tốc của vật dao động điều hòa có dạng:

v=ωAcos(ωt+$\varphi _{0}$+$\frac{\pi }{2}$)=-ωAsin(ωt+$\varphi _{0}$)

*Luyện tập (SGK – tr16)

- Tần số góc của dao động là ω=$\frac{2\pi }{T}$=$\frac{2\pi }{2}$=π rad/s.

- Gốc thời gian được chọn lúc vật qua vị trí cần bằng theo chiều dương nên ta có: x(0) = 0; v(0) > 0.

- Với t = 0, ta có: cos$\varphi _{0}$=0 và sin$\varphi _{0}$<0, suy ra pha ban đầu $\varphi _{0}$=$\frac{\pi }{2}$ rad.

- Phương trình vận tốc của vật dao động điều hòa là:

v=-ωAsin(ωt+$\varphi _{0}$)=-10πsin(πt-$\frac{\pi }{2}$) (cm/s).

Suy ra, vận tốc tại thời điểm ban đầu là v(0)=10π cm/s.

III. GIA TỐC TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1. Phương trình gia tốc của vật dao động

*Thảo luận 3 (SGK – tr17)

a) Đồ thị gia tốc – thời gian của vật dao động điều hòa cũng có dạng hình sin như đồ thị hình sin như đồ thị li độ - thời gian.

b) Từ đồ thị trong Hình 2.3 SGK, ta thấy rằng gia tốc của vật dao động điều hòa có cùng chu kì với li độ của vật.

c) Lập luận tương tự như Thảo luận 2c, ta có thể dự đoán mối liên hệ giữa gia tốc cực đại và biên độ dao động của vật là a=ω$^{2}$A.

d) Ta thấy rằng sau khoảng thời gian ∆t=$\frac{T}{2}$, li độ có cùng trạng thái dao động với gia tốc. Độ lệch pha của chúng là ∆φ=2π$\frac{∆t}{T}$=π rad.

*Kết luận: 

- Phương trình gia tốc của vật dao động điều hòa có dạng:

a=ω$^{2}$Acos(ωt+$\varphi _{0}$+π)=-ω$^{2}$Acos(ωt+$\varphi _{0}$)=-ω$^{2}$x

- Do ta có F=ma=-mω$^{2}$x nên lực tác dụng vào vật dao động điều hòa luôn hướng về vị trí cân bằng của vật.

*Thảo luận 4 (SGK – tr17)

Vẽ phác đồ thị lực tác dụng – thời gian của vật dao động điều hòa có đồ thị li độ - thời gian như hình 2.2 SGK.

*Luyện tập (SGK – tr18)

a) Dựa vào đồ thị trong Hình 2.3 SGK, ta thấy biên độ và chu kì của vật dao động lần lượt là A = 0,44 cm và T = 0,66 s. Từ đó ta có tần số góc của vật dao động là:

ω=$\frac{2\pi }{T}$=$\frac{2\pi }{0,66}$≈9,52 rad/s

Tại thời điểm ban đầu, vật đang ở biên âm. Do đó ta có:

x0=Acos$\varphi _{0}$=-A$\rightarrow $cos$\varphi _{0}$=-1

=> $\varphi _{0}$=π rad

- Phương trình li độ:

 x=0,44cos(9,52t+π) (cm)

- Phương trình vận tốc:

v=-4,2sin(9,52t+π) (cm/s)

- Phương trình gia tốc:

a=-10cos(9,52t+π) (cm/s$^{2}$)

b) Việc mô tả định tính tính chất của li độ, vận tốc và gia tốc của vật dao động được dựa vào đồ thị. Cụ thể:

- t = 0,33 s: x = 0,44 cm; v = 0; a = -40 cm/s$^{2}$.

- t = 0,495 s: x = 0: v = -4,2 cm/s; a = 0.

- t = 0,66 s: x = -0,44 cm; v = 0; a = 40m/s$^{2}$.

c) Thay giá trị của t và sử dụng máy tính để xác định giá trị của li độ, vận tốc và gia tốc tại các thời điểm yêu cầu. 

2. Vận dụng phương trình gia tốc, mối liên hệ giữa gia tốc và li độ của vật dao động

Ví dụ:

a) Ta có: a=-ω$^{2}$Acos(ωt+$\varphi _{0}$)

            = ω$^{2}$Acos(ωt+$\varphi _{0}$+π)

So sánh với phương tình gia tốc của vật, suy ra:

- Tần số góc: ω=2π rad/s.

- Biên độ dao động: A=$\frac{a_{max}}{\omega ^{2}}$=$\frac{12\pi ^{2}}{(2\pi )^{2}}$=3 cm.

- Pha ban đầu của dao động: $\varphi _{0}$=$\frac{\pi }{2}$-π=-$\frac{\pi }{2}$ rad.

- Chu kì dao động: T=$\frac{2\pi }{\omega }$=$\frac{2\pi }{2\pi }$=1 s.

- Tần số dao động: f=$\frac{1}{T}$=$\frac{1}{1}$=1 Hz.

b) 

- Phương trình li độ của vật:

x=Acos(ωt+$\varphi _{0}$)=3cos(2πt-$\frac{\pi }{2}$) (cm)

- Phương trình vận tốc của vật:

v=ωAcos(ωt+$\varphi _{0}$+$\frac{\pi }{2}$)=6πcos(2πt) (cm/s)

*Thảo luận 5 (SGK – tr19)

Độ lệch pha giữa gia tốc và vận tốc là ∆φ=$\frac{\pi }{2}$.

*Luyện tập (SGK – tr19)

a) - Biên độ dao động: A = 2 mm; tần số góc: ω=180π rad/s.

- Chu kì dao động: T=$\frac{2\pi }{\omega }$=$\frac{2\pi }{180\pi }$=$\frac{1}{90}$≈0,011 s.

- Tần số dao động: f=$\frac{\omega }{2\pi }$=$\frac{180\pi }{2\pi }$=90 Hz.

b) 

- Phương trình vận tốc: 

v=-360πsin(180πt) (mm/s)

- Phương trình gia tốc:

a=-64800$^{2}$cos(180πt) (mm/s$^{2}$)