CHƯƠNG VIII. ĐẠI SỐ TỔNG HỢP

BÀI 23. QUY TẮC ĐẾM

1. QUY TẮC CỘNG VÀ SƠ ĐỒ CÂY

HĐ1: 

Có 7 cách đi bằng tàu hảo và có 2 cách đi bằng máy bay nên ta có tất cả 9 cách đi bằng tàu hỏa hoặc máy bay.

HĐ2: 

a) Giải 2 loại vé ghế ngồi và 5 loại vé giường nằm.

b) Có 7 loại vé để bạn An lựa chọn.

Quy tắc cộng:

Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong hai phương án khác nhau:

- Phương án một có n$_{1}$ cách thực hiện.

- Phương án một có n$_{2}$ cách thực hiện (không trùng với bất kì cách thực hiện nào của phương án một).

Khi đó số cách thực hiện công việc sẽ là: n$_{1}$ + n$_{2}$ cách.

Sơ đồ hình cây:

Ví dụ:

Ví dụ 1 (SGK-tr61)

Chú ý: Áp dụng quy tắc cộng cho một công việc có nhiều phương án khi các phương án đó phải rời nhau, không phụ thuộc vào nhau (độc lập với nhau).

Ví dụ 2 (SGK -tr62)

Nhận xét: 

Ở câu b)

Gọi A là tập hợp gồm tất cả các quân cờ trắng.

B là tập hợp gồm tất cả các quân tốt.

Vậy A∪B là tập hợp các phân tử các quân cờ Nam lấy ra.

Vì A∩B≠∅, nên không thể áp dụng quy tắc cộng để tính trong trường hợp này.

Luyện tập 1: 

Ta có 35 = 5.7. Do đó, các số thỏa mãn yêu cầu đề bài là các số có một ước là 5 hoặc 7. 

Sơ đồ hình cây:

Do đó, các số thỏa mãn là: 6 + 4 = 10 (số).

2. QUY TẮC NHÂN

HĐ3: 

+ Đi từ Hà Nội vào Huế có 3 cách.

+ Với mỗi cách đi từ Hà Nội vào Huế thì có 2 cách để đi tiếp từ Huế vào Quảng Nam. Do đó, tổng số cách để đi từ Hà Nội vào Quảng Nam là: 

2 + 2 + 2 = 3.2 = 6 cách.

HĐ4: 

Để gắn chữ cái in hoa vào các ghế ta có 26 cách.

Sau đó gắn số vào các ghế ta có 20 cách.

Vậy có thể gắn nhãn tối đa cho: 26.20 = 520 (ghế).

Quy tắc nhân:

Giả sử một công việc phải hoàn thành qua hai công đoạn liên tiếp nhau:

- Công đoạn một có m1 cách thực hiện.

- Với mỗi cách thực hiện công đoạn một, có m2 cách thực hiện công đoạn hai. Khi đó số cách thực hiện công việc là m1.m2 cách.

Chú ý: Quy tắc nhân áp dụng để tính số cách thực hiện một công việc có nhiều công đoạn, các công đoạn nối tiếp nhau và những công đoạn này độc lập với nhau.

Ví dụ 3 (SGK -tr63)

Chú ý:

Ta có thể dùng quy tắc cộng trong bài toán.

- Chọn SE5 có hai loại vé, chọn SE7 có 2 loại vé, chọn SE35 có 2 loại vé.

Tổng cộng có: 2 + 2 + 2 = 6 cách chọn vé.

Luyện tập 2:

Xét một bảng bất kì. Trong một

trận đấu có 4 cách chọn đội thứ nhất,

3 cách chọn đội thứ hai nên có

4 . 3=12 (trận).

Vì hai đội chỉ đấu với nhau đúng một

lần nên thực tế trong một bảng chỉ có

12 . 2 = 6 (trận).

Vậy vòng bảng tổng cộng có:

6 . 8 = 48 (trận).

3. KẾT HỢP QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN

Ví dụ 4 (SGK -tr64)

Chú ý:

Quy tắc cộng được áp dụng khi công việc được chia thành các phương án phân biệt (thực hiện một trong các phương án để hoàn thành công việc).

Quy tắc nhân được áp dụng khi công việc có nhiều công đoạn nối tiếp nhau (Phải thực hiện tất cả các công đoạn để hoàn thành công việc).

Luyện tập 3:

a) Số cách chọn chữ số hàng trăm là: 3 cách.

Số cách chọn chữ số hàng chục là: 3 cách.

Số cách chọn chữ số hàng đơn vị là: 2 cách.

Vậy số cách chọn số thoả mãn để bài là:

3 . 3 . 2 =18 (cách).

b) 

+ Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị là 0.

Số cách chọn chữ số hàng trăm là: 3 cách.

Số cách chọn chữ số hàng chục là: 2 cách.

Do đó, số cách chọn là: 3 - 2 = 6 (cách).

+ Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị là 2.

Số cách chọn chữ số hàng trăm là: 2 cách.

Số cách chọn chữ số hàng chục là: 2 cách.

Do đó, số cách chọn là: 2 . 2 = 4 (cách).

Vậy số cách chọn thoả mãn để bài là:

6 + 4= 10 (cách).

Ví dụ 5 (SGK – tr 64)

Vận dụng:

+ Trường hợp 1: Chọn 2 bạn lớp 10A, 1 bạn lớp 10B và 1 bạn lớp 10C có: $\frac{30.29}{2}$.35.32=487200 (cách chọn).

+ Trường hợp 2: Chọn 2 bạn lớp 10A, 2 bạn lớp 10B và 1 bạn lớp 10C thì có: 30.$\frac{35.34}{2}$.32=571200 (cách chọn).

+ Trường hợp 3: Chọn 1 bạn lớp 10A, 1 bạn lớp 10B và 2 bạn lớp 10C thì có:

30.35.$\frac{32.31}{2}$=520800 (cách chọn).

Vậy có tất cả:

487 200 + 571 200 + 520 800 = 1 579 200 (cách chọn).