BÀI 18: XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

1. Xác suất có điều kiện

Hoạt động 1: Hình thành khái niệm xác suất có điều kiện

Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi trong hộp, không trả lại. Sau đó Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 11 chiếc bút còn lại. Tính xác suất để Tùng lấy được bút bi xanh nếu biết rằng Sơn đã lấy được bút bi đen.

Đáp án chuẩn:

Luyện tập 1: Trở lại Ví dụ 1. Tính bằng định nghĩa và bằng công thức.

Đáp án chuẩn:

Luyện tập 2: Chứng tỏ rằng nếu và là hai biến cố độc lập thì:

và .

Đáp án chuẩn:

;

Luyện tập 3: Một công ty dược phẩm muốn so sánh tác dụng điều trị bệnh X của hai loại thuốc M và N. Công ty đã thử tiến hành thử nghiệm với 4000 bệnh nhân mắc bệnh X trong đó 2400 bệnh nhân dùng thuốc M, 1600 bệnh nhân còn lại dùng thuốc N. Kết quả được cho trong bảng dữ liệu thống kê 2 x 2 như sau:

Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong số 4000 bệnh nhân thử nghiệm sau khi uống thuốc. Tính xác suất để bệnh nhân đó

a) uống thuốc M, biết rằng bệnh nhân đó khỏi bệnh;

b) uống thuốc N, biết rằng bệnh nhân đó không khỏi bệnh.

Đáp án chuẩn:

a) 

b)

2. Công thức nhân xác suất

Hoạt động 2: Hình thành công thức nhân xác suất

Chứng minh rằng, với hai biến cố A và B, > 0 , ta có:

Đáp án chuẩn:

(đpcm)

Luyện tập 4: Trở lại Ví dụ 4. Tính xác suất để:

a) Sơn lấy được bút bi xanh và Tùng lấy được bút bi đen;

b) Hai chiếc bút lấy ra có cùng màu.

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Vận dụng: Trở lại trò chơi “Ô cửa bí mật” trong tình huống mở đầu. Giả sử người chơi chọn cửa số 1 và người quản trò mở cửa số 3.

Kí hiệu tương ứng là các biến cố: “Sau ô cửa số 1 có ô tô”; “Sau ô cửa số 2 có ô tô”; “Sau ô cửa số 3 có ô tô” và là biến cố: “Người quản trò mở ô cửa số 3 thấy con lừa”.

Sau khi người quản trò mở cánh cửa số 3 thấy con lừa, tức là khi xảy ra. Để quyết định thay đổi lựa chọn hay không, người chơi cần so sánh hai xác suất có điều kiện: và .

a) Chứng minh rằng:

• ;

• và .

b) Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất, chứng minh rằng:

• ;

• .

c) Từ các kết quả trên hãy suy ra:

Từ đó hãy đưa ra lời khuyên cho người chơi: Nên giữ nguyên lựa chọn ban đầu hay chuyển sang cửa chưa mở còn lại?

Đáp án chuẩn:

a)

b)

c) => Lời khuyên: Người chơi là nên chuyển sang cửa chưa mở còn lại

GIẢI BÀI TẬP

Bài 6.1 trang 70 sách toán 12 tập 2 kntt

Một hộp kín đựng 20 tấm thẻ giống hệt nhau đánh số từ 1 đến 20. Một người rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ từ trong hộp. Người đó được thông báo rằng thẻ rút ra mang số chẵn. Tính xác suất để người đó rút được thẻ số 10.

Đáp án chuẩn:

Bài 6.2 trang 70 sách toán 12 tập 2 kntt

Cho . Tính .

Đáp án chuẩn:

Bài 6.3 trang 70 sách toán 12 tập 2 kntt

Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để:

a) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 nếu biết rằng ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm.

b) Có ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm nếu biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7.

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Bài 6.4 trang 70 sách toán 12 tập 2 kntt

Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đó không nhỏ hơn 10 nếu biết rằng có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm.

Đáp án chuẩn:

Bài 6.5 trang 70 sách toán 12 tập 2 kntt

Bạn An phải thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là 0,7. Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là 0,9. Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai chỉ là 0,4. Tính xác suất để:

a) Cả hai thí nghiệm đều thành công;

b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công;

c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công.

Đáp án chuẩn:

a)

b)

c) 

Bài 6.6 trang 70 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong một túi có một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 cái kẹo màu cam, còn lại là kẹo màu vàng. Hà lấy ngẫu nhiên một cái kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó Hà lại lấy ngẫu nhiên thêm một cái kẹo khác từ trong túi. Biết rằng xác suất Hà lấy được cả hai cái kẹo màu cam là . Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu cái kẹo?

Đáp án chuẩn:

Ban đầu trong túi có 10 cái kẹo