A. Tổng quan kiến thức

I. Tính đơn điệu của hàm số

Quy tắc

• Tìm tập xác định.Tính $f'(x)$.
• Tìm các điểm tại đó để $f'(x)=0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.
• Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
• Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

II. Cực trị của hàm số

Quy tắc I

• Tìm tập xác định.Tính $f'(x)$.
• Tìm các điểm tại đó để $f'(x)=0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.
• Lập bảng biến thiên.
• Từ bảng biến thiên, suy ra các điểm cực trị ( cực đại và cực tiểu ) của hàm số.

Quy tắc II

• Tìm tập xác định.Tính $f'(x)$.
• Giải phương trình $f'(x)=0$ và kí hiệu $x_{i} (  i =0,1,2,... )$ là các nghiệm của nó.
• Tính $f''(x)$ và $f''(x_{i})$.
• Dựa vào dấu của $f''(x_{i})$ suy ra tính chất cực trị của điểm  $x_{i}$.

II. Cách tìm GTLN ( max ) và GTNN ( min ) của hàm số trên một đoạn

Quy tắc

• Tìm các điểm $x_{1},x_{2},..,x_{n}$ trên khoảng (a;b), tại đó  $f'(x)=0$ hoặc không xác định.
• Tính $f(a),f(x_{1}),f(x_{2}),..,f(x_{n}),f(b)$.
• Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

Ví dụ:

Từ bảng biến thiên sau:

==>  Kết luận: $max V(x)=\frac{2a^{3}}{27}$ với $x\in (0,\frac{a}{2})$.

IV. Đường tiệm cận

1. Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên một khoảng vô hạn $(-\infty ;+\infty )$.

Nếu $\lim_{x \to \pm \infty }=y_{0}  => y=y_{0}$ là đường tiệm cận ngang .

Ví dụ:

Hàm số $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+1$ xác định trên khoảng $(0;+\infty )$.

Ta có: $\lim_{x \to +\infty }f(x)=\lim_{x \to +\infty }(\frac{1}{\sqrt{x}}+1)=1$

=>  $y=1$ là tiệm cận ngang của hàm số đã cho.

2. Đường tiệm cận đứng

Cho hàm số $y=f(x)$ , nếu thỏa mãn một trong số các điều kiện sau:

=> $x=x_{0}$ là tiệm cận đứng của hàm số $y=f(x)$.

V. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1. Sơ đồ khảo sát đồ thị có 3 bước:

• Bước 1: Tập xác định.
• Bước 2: Sự biến thiên.
• Bước 3: Đồ thị.

2. Một số dạng đồ thị với hàm số bậc ba $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d (a\neq 0)$

3. Một số dạng đồ thị với hàm số bậc bốn $y=ax^{4}+bx^{2}+c (a\neq 0)$ 

4. Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d} (c\neq 0,ad-bc\neq 0)$