Giải Câu 6 Bài: Bài tập ôn tập chương 3

Câu 6: Trang 122 - SGK Hình học 11

Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.

a) Chứng minh BC' vuông góc với mặt phẳng (A'B'CD)

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB' và BC'


Giải Câu 6 Bài: Bài tập ôn tập chương 3

a) Ta có tứ giác \(BCC'B’\) là hình vuông nên

\(BC’ ⊥ B’C\)         (1)

Mặt khác \(A’B’ ⊥ (BCC’B’)\)

\(⇒ A’B’ ⊥ BC’\)            (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(BC’⊥ (A’B’C’D')\)

b) Do \(AD’//BC’\) nên mặt phẳng \((AB’D’)\) là mặt phẳng chứa \(AB’\) và song song với \(BC’\).

Ta tìm hình chiếu của \(BC’\) trên \(mp (AB’D’)\)

Gọi \(E, F\) là tâm của các mặt bên \(ADD'A’\) và \(BCC'B’\)

Từ \(F\) kẻ \(FI ⊥ B’E\). Ta có \(BC’ //AD'\) mà \(BC’ ⊥ (A’B’CD)\)

\(⇒ AD’ ⊥ (A’B’CD)\) và \(IF ⊂(A’B’CD)\)

\(AD’ ⊥ IF\) (3)

\(EB’⊥IF\)   (4)

Từ (3) và (4) suy ra : \(IF ⊥ (AB’D’)\)

Vậy \(I\) là hình chiếu của \(F\) trên \(mp (AB’D’)\). Qua \(I\) ta dựng đường thẳng song song với \(BC’\) thì đường thẳng này chính là hình chiếu của \(BC’\) trên mp \((AB’D’)\)

Đường thẳng qua \(I\) song song với \(BC’\) cắt \(AB’\) tại \(K\). Qua \(K\) kẻ đường thẳng song song với \(IF\), đường này cắt \(BC’\) tại \(H\). \(KH\) chính là đường vuông góc chung của \(AB’\) và \(BC’\). Thật vậy:

\({\rm{IF}} \bot (AB'D')\)

\(\Rightarrow IF ⊥ AB'\) và \(KH // IF\) suy ra \(KH ⊥ AB'\)

\(\left. \matrix{
BC' \bot (A'B'CD) \hfill \cr 
{\rm{IF}} \subset {\rm{(A'B'CD)}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left. \matrix{
{\rm{IF}} \bot {\rm{BC'}} \hfill \cr 
{\rm{KH//IF}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow KH \bot BC'\)

 Tam giác \(EFB’\) vuông góc tại \(F\), \(FI\) là đường cao thuộc cạnh huyền nên

\({1 \over {I{F^2}}} = {1 \over {FB{'^2}}} + {1 \over {F{E^2}}}\) với 

\(\left\{ \matrix{
FB' = {{a\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr 
{\rm{EF = a}} \hfill \cr} \right.\)

Ta tính ra: \({\rm{IF}} = {{a\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow KH = {\rm{IF = }}{{a\sqrt 3 } \over 3}\)


Từ khóa tìm kiếm Google: giải câu 6 trang 122 sgk hình học 11, giải bài tập 6 trang 122 hình học 11, hình học 11 câu 6 trang 122, Câu 6 Bài Bài tập ôn tập chương 3 sgk hình học 11

Bình luận

Giải bài tập những môn khác