Dạng 5: Khối chóp và phương pháp tỉ số thể tích

I.Phương pháp giải

muốn tính thể tích khối chóp con trong khối chóp to, ta tính tỉ lệ các cạnh bên tương ứng của hai khối chóp. Từ đó suy ra được tỷ số thể tích.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC = $a\sqrt{2}$,SA vuông góc với đáy ABC , SA = a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (m) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN.

Bài giải:

Ta có $\bigtriangleup ABC$ vuông cân tại B,  AC = $a\sqrt{2}$ suy ra AB = BC = a.

$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}a^{2}$.

Có: $\Rightarrow V_{SABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}.SA=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.a^{2}.a=\frac{a^{3}}{6}$

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. G là trọng tâm của tam giác $\Rightarrow \frac{SG}{SI}=\frac{2}{3}$.

Mặt phẳng (m) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N.

$MN // BC \Rightarrow \frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SC}=\frac{SG}{SI}$

Vậy ta có: $\frac{V_{SAMN}}{V_{SABC}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$

 $\Rightarrow V_{SAMN}=\frac{4}{9}.V_{SABC}=\frac{4}{9}.\frac{a^{3}}{6}=\frac{2}{27}a^{3}$.

Bài tập 2: Cho khối tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng (m) qua A, B và trung điểm M của SC. Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.

Bài giải:

Ta kẻ MN // CD ( N thuộc SD)SD) thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).

Ta có: $\frac{V_{SAND}}{V_{SADB}}=\frac{SN}{SD}=\frac{1}{2}\Rightarrow V_{SAND}=\frac{1}{2}V_{SADB}=\frac{1}{4}V_{SABCD}$.

$\frac{V_{SBMN}}{V_{SBCD}}=\frac{SM}{SC}.\frac{SN}{SD}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}V_{SABCD}.$

$\Rightarrow V_{SBMN}=\frac{1}{4}V_{SBCD}=\frac{1}{8}V_{SABCD}.$

Mà $V_{SABMN}= V_{SANB}+V_{SBMN}=\frac{3}{8}V_{SABCD}.$

$\Rightarrow V_{ABMNBCD}=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}V_{SABCD}.$

$\Rightarrow \frac{V_{SABMN}}{V_{ABMNBCD}}=\frac{3}{5}$