Lời giải bài 5 Ôn tập chương 3 Hình học 12 Trang 93 SGK

Đề ra :

Cho mặt cầu(S) có phương trình $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}+(z-1)^{2}=100$ và mặt phẳng (α) có phương trình 2x – 2y – z + 9 = 0. Mp(α) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (C).

Gợi ý giải:

mp(S) : $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}+(z-1)^{2}=100$

=> I ( 3, -2 ,1)  và R= 10.

mặt phẳng (α) : 2x – 2y – z + 9 = 0 có $\vec{n}=(2,-2,-1)$.

Gọi H là tâm đường tròn (C).

Ta có phương trình tham số của đường thẳng IH là :  

        $\left\{\begin{matrix}x=3+2t &  & \\  y=-2-2t&  & \\ z=1-t&  & \end{matrix}\right.$  (1)

Thay x, y, z từ (1) và phương trình mặt phẳng (α) ta được : 

<=>  2(3+2t) - 2(-2-2t) -(1-t) + 9=0

<=> 6 + 4t + 4 + 4t -1 +t +9 = 0

<=> 9t +18= 0 

<=> t= -2.

=> Đường thẳng IH cắt mặt phẳng (α) tại H(-1 ,2, 3).

Vậy tâm đường tròn (C) là H(-1 ,2, 3)  và bán kính r = $\sqrt{R^{2}-d^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$.