Lời giải bài 1 Ôn tập chương 3 Hình học 12 Trang 91 SGK

Đề ra :

Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1)

a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD.

Gợi ý giải:

a) Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

 $\frac{x}{1}+\frac{y}{1}+\frac{z}{1}=1<=> x+y+z-1=0$

=> $x_{D}+y_{D}+z_{D}-1=-1+1-1-1\neq 0$

=> $D\notin mp(ABC)$

Vậy A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) 

Ta có :    $\cos (AB,CD)=\frac{\left | \vec{AB} .\vec{CD}\right |}{AB.CD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

<=>  $\widehat{AB,CD}=45^{\circ}$.

c)  Gọi độ dài đường cao của hình chóp A.BCD là h.

Xét mp(BCD) có :  vecto pháp tuyến $\vec{n}$ vuông góc với $\vec{BC}=(0,-1,1)$  và  $\vec{BD}=(-2,0,-1)$.

=>  $\vec{n}=\vec{BC}.\vec{BD}=(1,-2,-2)$

=>  Phương trình mp(BCD)  là :  1(x-0) - 2(y-1) -2(z-0) = 0

                                            <=>  x - 2y - 2z + 2 = 0.

=>  h = AH = d(A,mp(BCD)) = $\frac{\left | 1-0-0+2 \right |}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{3}{3}=1$.

Vậy độ dài đường cao hình chóp A.BCD bằng 1.