Giải câu 9 bài: Ôn tập chương I: Khối đa diện

Giải: Gọi giao của AC và BD là H, giao của AM và SH là I. Ta có $SH \perp (ABCD)$.

Xét mặt phẳng (P) và (SBD) có I là giao điểm của (P) và (SBD), $BD \parallel (P)$ nên giao tuyến của (P) và (SBD) là đường thẳng đi qua I và song song với BD lần lượt cắt SB và SD tại E và F.

Ta có $\widehat{(SA, (ABCD))}=\widehat{(SA, AH)}=\widehat{SAH}=60^{0}$.

Xét tam giác SAC có $SH=AH. \tan 60^{0}=\frac{1}{2}AC. \sqrt{3}=\frac{a \sqrt{6}}{2}$

Hơn nữa ta có I là trọng tâm của tam giác SAC nên $\frac{SI}{SH}=\frac{2}{3}=\frac{SF}{SD}.\frac{SE}{SB}$.

Suy ra $\frac{V_{SFAE}}{V_{SDAB}}=\frac{SF}{SD}.\frac{SA}{SA}.\frac{SE}{SB}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$

$\frac{V_{SFME}}{V_{SDCB}}=\frac{SF}{SD}.\frac{SM}{SC}.\frac{SE}{SB}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$.

Mặt khác $V_{SABD}=V_{SDCB}=\frac{1}{2}V_{SABCD}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{12}$

Vậy $V_{S.AEMF}=V_{SFAE}+V_{SFME}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{18}$.