Giải câu 1 trang 115 toán VNEN 9 tập 1

a, AC nằm trên tiếp tuyến Ax của đường tròn tại A => AC $\perp $  AB

BD nằm trên tiếp tuyến By của đường tròn tại B => BD $\perp $  AB

=> AC // BD

Áp dụng định lí Ta-let cho tam giác ECA và tam giác EBD có AC // BD ta có:

$\frac{ED}{EA}=\frac{BD}{AC}$ (1)

+ DM và DB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D cả đường tròn => DB = MD (2)

+ AC và CM là 2 tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn => AC = CM (3)

+ Từ (1), (2) và (3) => $\frac{ED}{EA}=\frac{MD}{MC}$

=> Theo định lí Ta-lét đảo ta có ME // AC

+ ME // AC và AC $\perp $  AB => ME $\perp $  AB (đpcm)

b, ME // AC => MF // AC hay EF // AC

Áp dụng định lí Ta-let cho tam giác BCA có EF // CA ta có: $\frac{EF}{CA}=\frac{BE}{BC}$ (*)

Áp dụng định lí Ta-let cho tam giác DCA có ME // CA ta có: $\frac{ME}{CA}=\frac{DE}{DA}$ (**)

Mà $\frac{DE}{DA}=\frac{BE}{BC}$ (BD // AC)  (***)

Từ (*), (**) và (***) => $\frac{EF}{CA}=\frac{ME}{CA}$ => EF = ME (đpcm)

c, Ta có: CM = CA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và CM = CA (bán kính của đường tròn)

=> CO là đường trung trực của AM => I là trung điểm của AM

Chứng minh tương tự có: OD là trung trực của BM => K là trung điểm của BM

+ Xét tam giác MAB có I là trung điểm của AM, K là trung điểm của BM => IK là đường trung bình của tam giác

=> IK // AB

+ Xét tam giác MAF có I là trung điểm của AM và E là trung điểm của AF (ME = EF)

=> IE là đường trung bình của tam giác => IE // AF hay IE // AB

+ IK // AB và IE // AB => ba điểm I, E, K thẳng hàng

=> Ba đường thẳng CB, AD và IK đồng quy tại điểm E.