Giải bài tập 2.5 trang 54 sbt toán 8 tập 2

a. Nếu có \(x + {1 \over 2} \ge 2\)

\(\Rightarrow x + {1 \over x} \ge 2\)

Ta cần chứng minh \(x + {1 \over x} - 2 \ge 0\)

Ta có \(x + {1 \over x} - 2 = {{{x^2} + 1 - 2x} \over x} = {{{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \over x}\)

Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) với x bất kì và $x > 0 $

Nên \({{{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \over x} \ge 0\)

Vậy \(x + {1 \over x} - 2 \ge 0\,\rm{hay}\,x + {1 \over x} \ge 2\)

b. Nếu $x < 0, $ta đặt $a = -x $thì $a > 0$

Từ kết quả câu a, ta có \(a + {1 \over a} \ge 2\)

Thay $a = -x, $ta có:

\( - x = {1 \over { - x}} \ge 2\,\,\,(1)\)

Nhân hai vế của (1) với số $-1, $ ta có:

\(x + {1 \over x} \le  - 2\)

Vậy, với $x < 0 $thì \(x + {1 \over x} \le  - 2\)