Dạng 4: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

I.Phương pháp giải

Trong không gian cho mặt phẳng (P): $Ax+By+Cz+D=0$ và mặt phẳng (Q): $A^{'}x+B^{'}y+C^{'}z+D^{'}=0$. Ta có:

$(P)\equiv (Q)\Leftrightarrow \frac{A}{A^{'}}=\frac{B}{B^{'}}=\frac{C}{C^{'}}=\frac{D}{D^{'}}$

$(P)//(Q)\Leftrightarrow \frac{A}{A^{'}}=\frac{B}{B^{'}}=\frac{C}{C^{'}}\neq \frac{D}{D^{'}}$

$(P)\cap (Q)\Leftrightarrow \frac{A}{A^{'}}\neq$ hoặc $\frac{B}{B^{'}}\neq \frac{C}{C^{'}}$$

$(P)\perp (Q)\Leftrightarrow A.A^{'}+B.B^{'}+C.C^{'}=0.$

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng sau đây:

a) (P): x + 2y + 3z + 4 = 0 và (Q): x + 5y - z - 9 = 0.

b) (P): x + y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + 2y + 2z +6 = 0.

Bài giải:

a) (P): x + 2y + 3z + 4 = 0 và (Q): x + 5y - z - 9 = 0

Ta có mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{p}}=(1;2;3), \vec{n_{Q}}=(1;5;-1)$.

Ta thấy $\frac{1}{1}\neq \frac{2}{5}$ nên do đó (P) cắt (Q).

b)  (P): x + y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + 2y + 2z +6 = 0.

Ta có mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{p}}=(1;1;1), \vec{n_{Q}}=(2;2;2)$.

Ta thấy $\frac{1}{2}=  \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\neq \frac{5}{6}$ nên do đó (P) song song với (Q).

Bài tập 2: Xác định giá trị của m và n để hai mặt phẳng sau đây song song với nhau : (P):2x + my + 3z - 5 = 0 và (Q): nx - 8y - 6z + 2 = 0.

Bài giải: 

Để (P) và (Q) song song với nhau thì: $\frac{2}{n}=\frac{m}{-8}=\frac{3}{-6}\neq \frac{-5}{2}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3n=-12& \\ -6m=-24& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}n=-4\\m=4 \end{matrix}\right.$