CHƯƠNG VI. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

BÀI 1. PHÉP TÍNH LŨY THỪA

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Bài 1: Cho biết dãy số…

Đáp án: 

a) Quy luật của dãy số: số hạng kể từ số hạng thứ hai bằng một nửa số hạng trước

 a$_{n+1}$=$\frac{a_{n}}{2}$, n=1, 2, 3,…

Ba số hạng tiếng theo là: a$_{5}$=$\frac{a_{4}}{2}$=1; a$_{6}$=$\frac{a_{5}}{2}$=$\frac{1}{2}$; a$_{7}$=$\frac{a_{6}}{2}$=$\frac{1}{4}$. 

b) Các số hạng này của dãy đều viết được dưới dạng luỹ thừa của 2 với số mũ giảm dần, số mũ của số liền sau ít hơn số mũ của số liền trước 1 đơn vị. 

Ba số hạng tiếp theo là: a$_{5}$=2$^{0}$;a$_{6}$=2$^{-1}$;a$_{7}$=2$^{-2}$.

Bài 2: Tính giá trị các biểu thức sau…

Đáp án: 

a) (-5)$^{-1}$=$\frac{1}{-5}$=-$\frac{1}{5}$

b) 2$^{0}$.($\frac{1}{2}$)$^{-5}$=1.$\frac{1}{(\frac{1}{2})^{5}}$=$\frac{1}{\frac{1}{32}}$=32

c) 6$^{-2}$.($\frac{1}{3}$)$^{-3}$:2$^{-2}$ =$\frac{1}{6^{2}}$.$\frac{1}{(\frac{1}{3})^{3}}$:$\frac{1}{2^{2}}$=$\frac{1}{36}$.$\frac{1}{\frac{1}{27}}$:$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{36}$.27.4=3.

Bài 3: Trong khoa học, người ta thường phải…

Đáp án: 

a) Vận tốc ánh sáng trong chân không: 2,9979.10$^{8}$ m/s.

b) Khối lượng nguyên tử của oxygen: 2,657.10$^{-26}$ kg.

2. Căn bậc n

Bài 1: Một thùng gỗ hình lập phương…

Đáp án: 

a) Khi a=1dm 

S=a$^{2}$=1 (dm$^{2}$); V=a$^{3}$=1 (dm$^{3}$).

Khi a=3dm 

S=a$^{2}$=9 (dm$^{2}$); V=a$^{3}$=27 (dm$^{3}$).

b) Để S=25 (dm$^{2}$)

=> a=$\sqrt{S}$=$\sqrt{25}$=5 (dm).

c) Để V=64 (dm$^{3}$)

=> a=$\sqrt[3]{V}$=$\sqrt[3]{64}$=4 (dm).

Bài 2: Tính giá trị các biểu thức sau…

Đáp án: 

a) $\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$=$\frac{1}{\sqrt[4]{2^{4}}}$=$\frac{1}{2}$

b) ($\sqrt[6]{8}$)$^{2}$=($\sqrt[6]{2^{3}}$)$^{2}$=$\sqrt[6]{(2^{3})^{2}}$=$\sqrt[6]{2^{6}}$=2

c) $\sqrt[4]{3}$.$\sqrt[4]{27}$=$\sqrt[4]{3.27}$=$\sqrt[4]{3^{4}}$=3.

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Bài 1: Cho số thực a > 0

Đáp án: 

a) ($\sqrt[6]{2^{4}}$)$^{6}$=2$^{4}$

($\sqrt[3]{2^{2}}$)$^{6}$=[($\sqrt[3]{2^{2}}$)$^{3}$]$^{2}$=(2$^{2}$)$^{2}$=2$^{4}$. 

=> $\sqrt[6]{2^{4}}$=$\sqrt[3]{2^{2}}$=2$^{4}$

b) $\sqrt[12]{2^{8}}$=$\sqrt[15]{2^{10}}$=$\sqrt[3]{2^{2}}$

Bài 2: Tính giá trị các biểu thức sau…

Đáp án: 

a) 25$^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{25}$=5

b) ($\frac{36}{49}$)$^{-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{(\frac{6}{7})^{2}}}$=$\frac{1}{\frac{6}{7}}$=$\frac{7}{6}$

c) 100$^{1,5}$=(10$^{2}$)$^{\frac{3}{2}}$=$\sqrt{(10^{2})^{3}}$=$\sqrt{(10^{3})^{2}}$=1 000.

Bài 3:  Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa…

Đáp án: 

a) $\sqrt{2^{3}}$=2$^{\frac{3}{2}}$

b) $\sqrt[5]{\frac{1}{27}}$=$\sqrt[5]{\frac{1}{3^{3}}}$=3$^{\frac{3}{5}}$

c) ($\sqrt[5]{a}$)$^{4}$=(a$^{\frac{1}{5}}$)$^{4}$=a$^{\frac{4}{5}}$.

4. Lũy thừa với số mũ thực

Bài 1: Ta biết rằng,…

Đáp án: 

a) 3$^{r_{6}}$≈4,728801466

3$^{r_{7}}$≈4,728804064.

b) Nhận xét: Đây là dãy số tăng, bị chặn trên bởi số 5. Dãy số này có giới hạn.

Bài 2: Sử dụng máy tính cầm tay…

Đáp án: 

Để làm tròn đến chữ số thập phân mình muốn:

a) 1,2$^{1,5}$≈1,314534
b) 10$^{\sqrt{3}}$≈53,957374
c) (0,5)$^{-\frac{2}{3}}$≈1,587401.

5. Tính chất của phép tính lũy thừa

Bài 1:

a) Sử dụng máy tính cầm tay, hoàn thành bảng sau...

Đáp án: 

a) 

b) Ta dự đoán phép tính luỹ thừa với số mũ thực có tính chất tương tự phép tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên a$^{\alpha }$.a$^{\beta }$=a$^{\alpha +\beta }$;a$^{\alpha }$:a$^{\beta }$=a$^{\alpha -\beta }$; (a$^{\alpha }$)$^{\beta }$=a$^{\alpha \beta }$,…. 

Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng một lũy thừa (a > 0)…

Đáp án: 

a) a$^{\frac{3}{5}}$.a$^{\frac{1}{2}}$:a$^{\frac{-2}{5}}$=a$^{\frac{3}{5}+\frac{1}{2}+\frac{-2}{5}}$=a$^{\frac{3}{2}}$

b) $\sqrt{a^{\frac{1}{2}}\sqrt{a^{\frac{1}{2}}}\sqrt{a}}$=$\sqrt{a^{\frac{1}{2}}\sqrt{a^{\frac{1}{2}}.a^{\frac{1}{2}}}}$=$\sqrt{a^{\frac{1}{2}}.\sqrt{a}}$=$\sqrt{a^{\frac{1}{2}}.a^{\frac{1}{2}}}$=$\sqrt{a}$=a$^{\frac{1}{2}}$2 

Bài 3: Rút gọn biểu thức…

Đáp án: 

(x$^{\sqrt{2}}$y)$^{\sqrt{2}}$(9y$^{-\sqrt{2}}$)

=9x$^{\sqrt{2}.\sqrt{2}}$y$^{\sqrt{2}}$y$^{-\sqrt{2}}$=9x$^{2}$y$^{\sqrt{2}-\sqrt{2}}$ =9x$^{2}$

Bài 4: Tại một vùng biển, giả sử cường độ ánh sáng…

Đáp án: 

a) Tại độ sâu 1 m, I1=I$_{0}$.10$^{-0,3}$

=> I(1) gấp 10$^{-0,3}$≈0,5 lần I$_{0}$.

b) Cường độ ánh sáng sâu 2 m gấp cường độ ánh sáng sâu 10m số lần là:

$\frac{I(2)}{I(10)}$=$\frac{I_{0}.10^{-0,3.2}}{I_{0}.10^{-0,3.10}}$=10$^{0,3(10-2)}$=10$^{2,4}$≈251,19 (lần)

6. Bài tập

Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:…

Đáp án: 

a) ($\frac{3}{4}$)$^{-2}$.3$^{2}$.12$^{0}$=$\frac{1}{(\frac{3}{4})^{2}}$.3$^{2}$.1.1=16

b) ($\frac{1}{12}$)$^{-1}$.($\frac{2}{3}$)$^{-2}$=$\frac{1}{\frac{1}{12}}$.$\frac{1}{(\frac{2}{3})^{2}}$=12.$\frac{9}{4}$=27

c) (2$^{-2}$.5$^{2}$)$^{-2}$:(5.5$^{-5}$)=$\frac{1}{(2^{-2}.5^{2})^{-2}}$:5$^{-4}$=$\frac{1}{\frac{1}{2^{4}}.5^{4}}$:$\frac{1}{5^{4}}$=$\frac{2^{4}}{5^{4}}$.5$^{4}$=2$^{4}$=16

Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng một lũy thừa (a > 0)…

Đáp án: 

a) 3$\sqrt{3}$.$\sqrt[4]{3}$.$\sqrt[8]{3}$=3.3$^{\frac{1}{2}}$.3$^{\frac{1}{4}}$.3$^{\frac{1}{8}}$=3$^{\frac{15}{8}}$

b) $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}$=$\sqrt{a\sqrt{a.a^{\frac{1}{2}}}}$=$\sqrt{a(a^{1+\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}}$=$\sqrt{a.a^{\frac{3}{2}$.$\frac{1}{2}}}$=(a$^{1+\frac{3}{4}}$)$^{\frac{1}{2}}$=a$^{\frac{7}{8}}$

c) $\frac{\sqrt{a}\sqrt[3]{a}\sqrt[4]{a}}{(\sqrt[5]{a})^{3}.a^{\frac{2}{5}}}$=$\frac{a^{\frac{1}{2}}.a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{3}{5}}.a^{\frac{2}{5}}}$=$\frac{a^{\frac{13}{12}}}{a}$=a$^{\frac{1}{12}}$

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau…

Đáp án: 

a) a$^{\frac{1}{3}}$a$^{\frac{1}{2}}$a$^{\frac{7}{6}}$=a$^{2}$

b) a$^{\frac{2}{3}}$a$^{\frac{1}{4}}$:a$^{\frac{1}{6}}$=a$^{\frac{3}{4}}$

c) ($\frac{3}{2}$a$^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}}$)(-$\frac{1}{3}$a$^{\frac{1}{2}$b$^{\frac{3}{2}}}$)=$\frac{3}{2}$.(-$\frac{1}{3}$).a$^{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}$b$^{-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}$=-$\frac{1}{2}$a$^{-1}b^{1}$=-$\frac{b}{2a}$

Bài 4: Với một chỉ vàng, giả sử…

Đáp án: 

Cần trồng số lá vàng để có độ dày bằng đồng xu loại 5 000 đồng là:

$\frac{2,2.10^{-3}}{1,94.10^{-7}}$=$\frac{2,2}{1,94}$10$^{4}$≈11 300 (lá vàng)

Bài 5: Tại một xí nghiệp…

Đáp án: 

a) Sau 2 năm giá trị còn lại của máy là:

P(2)=500.($\frac{1}{2}$)$^{\frac{2}{3}}$≈315 (triệu đồng).

Sau 2 năm 3 tháng giá trị còn lại của máy là:

P(2,25)≈297 (triệu đồng).

b) Giá trị của máy sau 1 năm sử dụng là:

$\frac{P(1)}{P(0)}$=$\frac{500.(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}}{500}$=($\frac{1}{2}$)$^{\frac{1}{3}}$≈0,79=79% (so với ban đầu)

Bài 6: Biết rằng…

Đáp án: 

Bài 7: Biết rằng…

Đáp án: 

a) 16$^{\alpha }$=4$^{2\alpha }$=(4$^{\alpha }$)$^{2}$=$\frac{1}{25}$

16$^{-\alpha }$=4$^{-2\alpha }$=(4$^{\alpha }$)$^{-2}$=25

=> 16$^{\alpha }$+16$^{-\alpha }$=$\frac{625}{25}$.

b) (2$^{\alpha }$+2$^{-\alpha }$)$^{2}$=(2$^{\alpha }$)$^{2}$+2.2$^{\alpha }$.2$^{-\alpha }$+(2$^{-\alpha }$)$^{2}$

=4$^{\alpha }$+2+(4$^{\alpha }$)$^{-1}$

=$\frac{1}{5}$+2+($\frac{1}{5}$)$^{-1}$=$\frac{36}{5}$