Hướng dẫn giải đề kiểm tra học kỳ 2 năm 2017

Lời giải chi tiết:

Bài 1:

a) $2x^{2}-7x+5=0$     

Ta có :   $\Delta =b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4.2.5=9=> \sqrt{\Delta }=3 >0$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt :                 $x1=\frac{7+3}{4}=\frac{5}{2}; x2=\frac{7-3}{4}=1$.

b)  $\left\{\begin{matrix}  x-3y=-1&    (1)\\  -2x+9y=8&   (2)  \end{matrix}\right.$    

Lấy (1) .2 , ta được:

<=> $\left\{\begin{matrix}  2x-6y=-2&  (1) \\  -2x+9y=8&  (2)   \end{matrix}\right.$   

Lấy (2)-(1), ta được hệ sau:

<=> $\left\{\begin{matrix}  x-3y=-1& \\  3y=6& \end{matrix}\right.$    

<=> $\left\{\begin{matrix}  x-3y=-1&  (*) \\  y=2& \end{matrix}\right.$    

Thay y = 2  và (*) ta có :

<=> $\left\{\begin{matrix}  x-3.2=-1& \\  y=2& \end{matrix}\right.$    

<=> $\left\{\begin{matrix}  x=5& \\  y=2& \end{matrix}\right.$    

Vậy hệ phương trình trên có nghiệm : $\left\{\begin{matrix}  x=5& \\  y=2& \end{matrix}\right.$    

Bài 2:

a) Với m = 1 , phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là :

   $x^{2}=x+2$  <=>  $x^{2}-x-2=0$

Ta có : $\Delta =(-1)^{2}-4.1.(-2)=9=> \sqrt{\Delta }=3>0$

=> Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

      $x1=\frac{1+3}{2}=2; x2=\frac{1-3}{2}=-1$

• Với x1 = 2 =>  $y1=2^{2}=4$
• Với x2 = -1 => $y1=(-1)^{2}=1$

Vậy tọa độ giao điểm của (d) và (P) là (x,y)= ( -1, 1); (x, y) =(2, 4).

b)  Xét phương trình hoàn độ giao điểm của (d) và (P) :  $x^{2}=x+3-m$

<=> $x^{2}-x-3+m=0$

Ta có :  $\Delta =(-1)^{2}-4.(-3+m)=13-4m$

Theo giả thiết : (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt nên $\Delta =(-1)^{2}-4.(-3+m)=13-4m$>0

=> $m<\frac{13}{4}$

Áp dụng hệ thức Vi-et :$\left\{\begin{matrix}x1+x2=\frac{-b}{a}=1 & \\ x1.x2=\frac{c}{a} =-3+m& \end{matrix}\right.$

   <=>  $\left\{\begin{matrix}x_{A}+x_{B}=\frac{-b}{a}=1 & \\ x_{A}.x_{B}=\frac{c}{a} =-3+m& \end{matrix}\right.$

Mà :  $x_{A}^{2}+x_{B}^{2}=4<=>(x_{A}+x_{B})^{2}-2x_{A}x_{B}=1^{2}-2(-3+m)=4$

<=>  $7-2m=4 <=> m=\frac{3}{2}$  (thỏa mãn đk)

Vậy $ m=\frac{3}{2}$.

Bài 3:

  Gọi chiều nganh sân bóng là x (m) ,(x> 0).

=>  Chiều dọc của sân sẽ là : x + 22 (m) .

Theo giả thiết ,sân bóng hình chữ nhật với diện tích là $779m^{2}$

<=> x.(x + 22) = $779m^{2}$

<=> $x^{2}+22x-779=0$

<=> $\Delta {}'=11^{2}-(-779)=900=>\sqrt{\Delta {}'}=30$

=>  $x1=\frac{-11+30}{1}=19$

       $x2=\frac{-11-30}{1}=-41<0$   (loại)

Vậy Chiều ngang sân bóng là 19m.

       Chiều dọc sân bóng là : 19 + 22 = 41 m.

Kết luận: Kích thước này đạt tiêu chuẩn theo quy định.

Bài 4:

1.

a. Ta có :   $\angle BMA=90^{\circ} $  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).   (1)

              $\angle BIK=90^{\circ} $   (giả thiết)                                              (2)

Xét tứ giác BMKI , ta có :  $\angle BIK+\angle BMA=180^{\circ}$                (3)

Từ (1), (2) ,(3) => tứ giác BMKI nội tiếp (đpcm).

b.  

Xét  $\triangle AIK     và    \triangle DIB$ :

•   $\angle AIK=\angle DIB=90^{\circ}$          (giả thiết)
•   $\angle IDB=\angle IAK$                     (cùng phụ $\angle B$)

=> $\triangle AIK \sim   \triangle DIB$ 

=> $\frac{AI}{DI}=\frac{AK}{DB}=> AI.DB=AK.DI$  (đpcm).

2.

Nhận xét: Thể tích cát cần để lấp đầy giếng chính là thể tích hình trụ với đường kính đáy = đường kính miệng giếng= 20 dm= 2m, chiều cao chính = độ sâu của giếng = 6,5 m.

Vậy thể tích cần tìm là :

                  $V=\Pi .R^{2}.h=\Pi (\frac{2}{2})^{2}.6,5\approx 20,41 (m^{3})$.

Bài 5:

   $x+2\sqrt{(x-1)}-m^{2}+6m-11=0$   (*)

ĐKXĐ:    $x\geq 1$

Đặt  $\sqrt{x-1}=a(a\geq 0)$

(*) <=> $a^{2}+1+2a-m^{2}+6m-11=0$

    <=>  $a^{2}+2a-m^{2}+6m-10=0$        (**)

Ta có : $\Delta {}'=1^{2}-(-m^{2}+6m-10)=m^{2}-6m+11=(m-3)^{2}+2>0\forall m$

=> (**) luôn có nghiệm với mọi m.

Vậy (*) luôn có nghiệm $x\geq 1$ với mọi giá trị của m (đpcm).