Hướng dẫn giải câu 1 :

Đề ra :

Giải phương trình sau :

a.  $x^{3}+1=2\sqrt[3]{2x-1}$

b.  $x^{2}+\sqrt{x+5}=5$

Hướng dẫn chi tiết :

a.    $x^{3}+1=2\sqrt[3]{2x-1}$              (1)

Đặt  $t=\sqrt[3]{2x-1}=> t^{3}=2x-1$

(1) =>  $\left\{\begin{matrix}x^{3}+1=2t & \\ t^{3}=2x-1 & \end{matrix}\right.$   <=> $\left\{\begin{matrix}x^{3}+1=2t (*) & \\ t^{3}+1=2x(**) & \end{matrix}\right.$

Lấy (*) - (**) , ta được : $x^{3}-t^{3}=2(t-x)$

<=>  $(x-t)(x^{2}+xt+t^{2})+2(x-t)=0$

<=>  $(x-t)(x^{2}+xt+t^{2}+2)=0$

<=>  Hoặc x = t hoặc $x^{2}+xt+t^{2}+2=0$   (2)

Xét (2) :  $x^{2}+xt+t^{2}+2=0$

Ta có :  $\Delta =t^{2}-4(t^{2}+2)=-8-3t^{2}<0,\forall t$

=>  (2) vô nghiệm .

+  Với x = t , thế vào pt (*) , ta được : $x^{3}-2x+1=0$

<=>  $(x-1)(x^{2}+x-1)=0$

<=>  Hoặc x = 1 hoặc $x^{2}+x-1=0$  (3)

Xét (3) : $x^{2}+x-1=0$

Ta có : $\Delta =1^{2}-4.(-1)=5>0$

=>  (3) có 2 nghiệm phân biệt : $x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=1\vee x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

b.    $x^{2}+\sqrt{x+5}=5$                 (*)

Đk : $x\geq -5$

Đặt  $t=\sqrt{x+5} (t\geq 0)$  =>  $t^{2}=x+5$

(*)  <=> $\left\{\begin{matrix}x^{2}+t=5   (1)& \\ t^{2}-x=5 (2) & \end{matrix}\right.$

Lấy (1) - (2) , ta được : $x^{2}-t^{2}+t+x=0$

<=>  $(t+x)(1+x-t)=0$

<=>  Hoặc  t = - x hoặc t - x = 1

+ Với t = -x , thế vào pt (1) , ta được : $x^{2}-x-5=0$

Ta có : $\Delta =(-1)^{2}-4.(-5)=21>0$

=>  $x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{21}}{2}$

Vì $t\geq 0<=> -x\geq 0=>x\leq 0$  => $x=\frac{1+\sqrt{21}}{2}>0$  ( loại )

+ Với t = x + 1, thế vào pt (1) , ta được : $x^{2}+x+1=5<=> x^{2}+x-4=0$

Ta có : $\Delta =1^{2}-4.(-4)=17>0$

=>  $x_{3,4}=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}$

Vì $t\geq 0=> x\geq -1$  =>  $x=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}<-1$   ( loại )

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\vee x=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$ .