1. PHÉP CỘNG PHÂN SỐ

1.1. Quy tắc cộng hai phân số 

- Quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu: Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu:

$\frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{a+b}{m}$

VD: $\frac{-1}{5}+\frac{3}{5}=\frac{-1+3}{5}=\frac{2}{5}$

- Cộng hai phân số khác mẫu

Tính: $\frac{11}{-9}+\frac{5}{-6}$

Bước 1: Quy đồng mẫu hai phân số

$\frac{11}{-9}=\frac{-11}{9}$ và $\frac{5}{-6}=\frac{-5}{6}$; BCNN(9, 6) = 18

$\frac{11}{-9}=\frac{-11.2}{9.2}=\frac{-22}{18}$ và $\frac{5}{-6}=\frac{-5.3}{6.3}=\frac{-15}{18}$

Bước 2: Cộng các tử và giữ nguyên mâu chung:

Ta có: $\frac{-22}{18}+\frac{-15}{18}=\frac{-22+(-15)}{18}=\frac{-37}{18}$

Vậy $\frac{11}{-9}+\frac{5}{-6}=\frac{-37}{18}$

Quy tắc: 

Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu những phân số đó rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung.

Luyện tập 1

a) $\frac{-3}{7}+\frac{2}{7}=\frac{-3+2}{7}=\frac{-1}{7}$

b) $\frac{-4}{9}+\frac{2}{-3}=\frac{-4}{9}+\frac{-2}{3}=\frac{-4.1}{9.1}+\frac{-2.3}{3.3}=\frac{-4}{9}+\frac{-6}{9}=\frac{-4+(-6)}{9}=\frac{-10}{9}$

1.2. Tính chất của phép cộng phân số

- Giống như phép cộng số tự nhiên, phép cộng phân số cũng có các tính chất: giao hoán, kết hợp, cộng với số 0.

a) Tính chất giao hoán: $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}$

b) Tính chất kết hợp: $(\frac{a}{b}+\frac{c}{d})+\frac{p}{q}=\frac{a}{b}+(\frac{c}{d}+\frac{p}{q})$

c) Cộng với số 0: $\frac{a}{b}+0=0+\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$

Luyện tập 2

a)$\frac{-5}{9}+\frac{4}{11}+\frac{7}{11}=\frac{-5}{9}+(\frac{4}{11}+\frac{7}{11})$

$=\frac{-5}{9}+\frac{11}{11}=\frac{-5}{9}+1=\frac{-5+1.9}{9}=\frac{4}{9}$

b) $\frac{-2}{5}+\frac{3}{8}+\frac{-3}{5}+\frac{13}{8}$

$=(\frac{-2}{5}+\frac{-3}{5})+(\frac{3}{8}+\frac{13}{8})=\frac{-5}{5}+\frac{16}{8}$

 = -1 + 3 = 2

2. PHÉP TRỪ PHÂN SỐ

2.1. Số đối của một phân số

Giống như số nguyên, mỗi phân số đều có số đối sao cho tổng của hai số đó bằng 0

VD: Phân số $-\frac{3}{5}$ là số đối của phân số $\frac{3}{5}$

Kết luận

Số đối của phân số $\frac{a}{b}$ kí hiệu là $-\frac{a}{b}$

Ta có: 

$\frac{a}{b}+(-\frac{a}{b})=0$

Chú ý:

Ta có: $-\frac{a}{b}=\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}$ với a, b ∉ Z, b ≠ 0

Số đối của $-\frac{a}{b}$ là $\frac{a}{b}$ tức là: $-(-\frac{a}{b})=\frac{a}{b}$

2.2. Quy tắc trừ hai phân số 

- Quy tắc trừ hai phân số cùng mẫu: Muốn trừ hai phân số có cùng mẫu, ta trừ tử của số bị trừ cho tử của số trừ và giữ nguyên mẫu:

$\frac{a}{m}-\frac{b}{m}=\frac{a-b}{m}$

VD: $\frac{-1}{5}-\frac{3}{5}=\frac{-1-3}{5}=\frac{-4}{5}$

- Trừ hai phân số khác mẫu

Tính: $\frac{13}{-9}-\frac{7}{-6}$

Bước 1: Quy đồng mẫu hai phân số

$\frac{13}{-9}=\frac{-13}{9}$ và $\frac{7}{-6}=\frac{-7}{6}$; BCNN(9, 6) = 18

$\frac{13}{-9}=\frac{-13.2}{9.2}$ và $\frac{7}{-6}=\frac{-7.3}{6.3}=\frac{-21}{18}$

Bước 2: Trừ tử của số bị trừ cho tử của số trừ và giữ nguyên mẫu chung:

Ta có: $\frac{-26}{18}-\frac{-21}{18}=\frac{-26-(-21)}{18}=\frac{-5}{18}$

Vậy $\frac{13}{-9}-\frac{7}{-6}=\frac{-5}{18}$

Nhận xét:

Muốn trừ hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng những phân số đó rồi trừ tử của số bị trừ cho tử của số trừ và giữ nguyên mẫu chung.

Luyện tập 3

$\frac{-7}{10}-\frac{9}{10}=\frac{-7-9}{10}=\frac{-16}{10}$

2.3. Quan hệ giữa phép trừ phân số và phép cộng với số đối 

Hoạt động 4:

a) Phân số $\frac{2}{5}$ là số đối của phân số $\frac{2}{-5}$

b)$\frac{-3}{7}-\frac{2}{-5}=\frac{-3.5}{7.5}-\frac{-2.7}{5.7}=\frac{-15}{35}-\frac{-14}{35}=\frac{-1}{35}$

$\frac{-3}{7}+\frac{2}{5}=\frac{-3.5}{7.5}+\frac{2.7}{5.7}=\frac{-15}{35}+\frac{14}{35}=\frac{-1}{5}$

 Vậy $\frac{-3}{7}-\frac{2}{-5}=\frac{-3}{7}+\frac{2}{5}$

Kết luận:

Muốn trừ hai phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ:

$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a}{b}+(-\frac{c}{d})$

Luyện tập 4 

$\frac{7}{12}-\frac{-9}{20}=\frac{7}{12}+\frac{9}{20}=\frac{7.5}{12.5}+\frac{9.3}{20.3}$

$=\frac{35}{60}+\frac{27}{60}=\frac{62}{60}=\frac{31}{30}$

3. QUY TẮC DẤU NGOẶC

Quy tắc dấu ngoặc đối với phân số giống như quy tắc dấu ngoặc đối với số nguyên.

Luyện tập 5

$\frac{-2}{49}-(\frac{47}{49}+\frac{5}{-3})=\frac{-2}{49}-\frac{47}{49}-\frac{5}{-3}$

$=\frac{-2-47}{49}+\frac{5}{3}=\frac{-49}{49}+\frac{5}{3}=-1+\frac{5}{3}=\frac{-1.3+5}{3}=\frac{2}{3}$