CHƯƠNG IV. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

BÀI 2. ĐỊNH LÍ CÔSIN VÀ SIN

1. ĐỊNH LÍ CÔSIN TRONG TAM GIÁC

HĐKP 1:

a) cosA = $\frac{x}{b}$ => x = bcosA.

Vậy ? = x

b) 

Xét tam giác CDB vuông tại D, ta có:

a$^{2}$ = d$^{2}$ + (c + x)$^{2}$    (4)

Xét tam giác CDA vuông tại D, ta có:

b$^{2}$ = d$^{2}$ + x$^{2}$ => d$^{2}$ = b$^{2}$ - x$^{2}$     (5)

Lại có: cos$\widehat{BAC}$ = - cos$\widehat{CAD}$ = -$\frac{x}{b}$ ⟹ 

x = -bcosA           (6)

Thay (5), (6) vào (4), ta có: a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ - 2bc.cosA

c) Tam giác ABC vuông tại A ⟹ $\widehat{A}$ = 90°

Ta có: a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ - 2bc.cosA <=> a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ - 2bc.cos90° <=> a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$

Kết luận: 

Định lí côsin

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ - 2bc cosA;

b$^{2}$ = c$^{2}$ + a$^{2}$ - 2ca cosB;

c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ - 2ab cosC.

Từ định lí cô sin, ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả:

cosA = $\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$;   

cosB = $\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$;

cosC = $\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$.

Ví dụ 1 (SGK - tr66)

Thực hành 1:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

BC$^{2}$ = AC$^{2}$ + AB$^{2}$ - 2AC. AB cosA = 14$^{2}$ + 18$^{2}$ - 2. 14. 18. cos62° $\approx $ 283,3863

⟹ BC = $\sqrt{283,3863} \approx $ 16,834

Theo hệ quả định lí côsin, ta có:

cosB = $\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2.AB.BC}$ = $\frac{14^{2}+16,834^{2}-18^{2}}{2.14.16,834} \approx $ 0,3297 ⟹ $\widehat{B} \approx $ 70°45’

cosC = $\frac{AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2.AC.BC}$ = $\frac{18^{2}+16,834^{2}-14^{2}}{2.18.16,834} \approx $ 0,6788 ⟹ $\widehat{C} \approx $ 47°15’

Vậy BC $\approx $ 16,834; $\widehat{B} \approx $ 70°45’; $\widehat{C} \approx $ 47°15’

Vận dụng 1: 

Gọi các đỉnh của tam giác như trong hình vẽ.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$+ AC$^{2}$ - 2AB.AC.cosA

       = 800$^{2}$+ 900$^{2}$ - 2. 800. 900.cos70°

       ≈ 957490,9936

⟹ BC ≈ 978,5147

Vậy khoảng cách giữa hai điểm ở đầu bờ hồ là 978,5147m.

2. ĐỊNH LÍ SIN TRONG TAM GIÁC

HĐKP 2: 

a)

i) Xét tam giác BDC vuông tại C, ta có:

sin$\widehat{BDC}$ = $\frac{BC}{BD}$ =$\frac{a}{2R}$

ii) Với tam giác ABC có góc A nhọn, ta có:

$\widehat{BAC}$ = $\widehat{BDC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC).

⟹ sin$\widehat{BAC}$ = sin$\widehat{BDC}$ = $\frac{a}{2R}$ ⟹ 2R = $\frac{a}{sinA}$ 

Với tam giác ABC có góc A tù, ta có tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn tâm O.

⟹ $\widehat{BAC}$ + $\widehat{BDC}$ = 180° 

⟹ sin$\widehat{BAC}$ = sin(180°-$\widehat{BDC}$) = sin$\widehat{BDC}$  = $\frac{a}{2R}$ ⟹ 2R = $\frac{a}{sinA}$

Vậy 2R = $\frac{a}{sinA}$

b) 

Tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O bán kính $\frac{BC}{2}$ ⟹ 2R = a (1)

Ta có: sinA = sin90° = 1 (2)

Từ (1) và (2) ⟹ 2R = a1 = $\frac{a}{sinA}$

Vậy 2R = $\frac{a}{sinA}$

Kết luận: 

Định lí sin:

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

$\frac{a}{sinA}$ = $\frac{b}{sinB}$ =$\frac{c}{sinC}$ = 2R

Từ định lí sin, ta có hệ quả sau:

Hệ quả:

a = 2RsinA;  b = 2RsinB;  c = 2RsinC;

sinA = $\frac{a}{2R}$;     sinB = $\frac{B}{2R}$;     sinC = $\frac{C}{2R}$

Ví dụ 2 (SGK - tr68)

Thực hành 2:

Ta có: $\widehat{P}$ = 180° - $\widehat{M}$ - $\widehat{N}$ 

               = 180° - 34° - 112° = 34°

⟹ Tam giác MNP cân tại N 

⟹ MN = NP = 22

Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:

$\frac{NP}{sinM}$ = $\frac{MP}{sinN}$ = $\frac{MN}{sinP}$ = 2R

Suy ra: MP = $\frac{NPsinN}{sinM}$ = $\frac{22.sin112°}{sin34°}$ ≈ 36,5.

Vận dụng 2: 

Gọi điểm tháp canh là C, điểm cháy là D (như hình vẽ).

Ta có: $\widehat{BDC}$ = 180° - 35° - 125° = 20°

Áp dụng định lí sin cho tam giác CBD, ta có:

$\frac{BD}{sin \widehat{BCD}}$ = $\frac{CB}{sin \widehat{BDC}}$ = $\frac{CD}{sin \widehat{CBD}}$ = 2R

Suy ra: BD = $\frac{CD.sin \widehat{BCD}}{sin \widehat{BDC}}$ =$\frac{900.sin35°}{sin \widehat{sin20° }}$ ≈ 1509,3 (m)

CD = $\frac{CB.sin \widehat{CBD}}{sin \widehat{BDC}}$ =$\frac{900.sin125°}{sin \widehat{sin20° }}$≈ 2155,5 (m)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ACD, ta có:

AD$^{2}$ = CA$^{2}$ + CD$^{2}$ - 2AC. CD. cos$\widehat{ACD}$

        = 1800$^{2}$ + 2155,5$^{2}$ - 2. 1800. 2155,5. cos34° ≈ 1453014,5

⟹ AD ≈ 1205, 4(m)

Nhận thấy AD < BD nên dẫn nước từ bồn chứa A sẽ dập tắt đám cháy nhanh hơn.

3. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC 

HĐKP 3:

a) Xét tam giác ABC, đường cao AH:

S$_{ABC}$ = $\frac{1}{2}$. AH. BC = $\frac{1}{2}$. h$_{a}$. a        (1)

b) Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:

sinC = $\frac{AH}{AC}$ = $\frac{h_{a}}{B}$ ⟹ h$_{a}$ = b. sinC   (2)

c) Thay (2) vào (1), ta được: S = $\frac{1}{2}$absinC.

d) Áp dụng định lí sin, ta có:

$\frac{a}{sinA}$ = $\frac{b}{sinB}$ = $\frac{c}{sinC}$ = 2R

⟹ sinC = $\frac{c}{2R}$

⟹ S = $\frac{1}{2}$absinC = $\frac{1}{2}$ab. $\frac{c}{2R}$ =$\frac{abc}{4R}$

Vậy S =$\frac{abc}{4R}$

HĐKP 4:

a) S$_{IBC}$ = $\frac{1}{2}$. r. BC =  $\frac{1}{2}$. r. a

    S$_{IAC}$ = $\frac{1}{2}$. r. AC =  $\frac{1}{2}$. r. b

    S$_{IAB}$ = $\frac{1}{2}$. r. $\frac{1}{2}$ =  12. r. c

b) Ta có: S$_{ABC}$ = S$_{IBC}$ + S$_{IAC}$ + S$_{IAB}$

= $\frac{1}{2}$. r. a + $\frac{1}{2}$. r. b + $\frac{1}{2}$2. r. c

= $\frac{r(a+b+c)}{2}$

Vậy S = $\frac{r(a+b+c)}{2}$

Kết luận: Ta có các công thức tính diện tích tam giác sau:

1) S =$\frac{1}{2}$.h$_{a}$.a = $\frac{1}{2}$.h$_{b}$.b =$\frac{1}{2}$.h$_{c}$.c;

2) S = $\frac{1}{2}$absinC = $\frac{1}{2}$bcsinA = $\frac{1}{2}$acsinB;

3) S =$\frac{abc}{4R}$;

4) S = pr;

5) S = $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (công thức Heron)

Ví dụ 3 (SGK - tr71)

Ví dụ 4 (SGK - tr71)

Thực hành 3:

a) S = $\frac{1}{2}$absinA = $\frac{1}{2}$. 14. 35. sin60° = $\frac{245\sqrt{3}}{2}$

Áp dụng định lí côsin, ta có:

a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ - 2bc cosA = 14$^{2}$ + 35$^{2}$ - 2. 14. 35. cos60° = 931

⟹ a = 7$\sqrt{19}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

R = $\frac{a}{sinA}$ = $\frac{7\sqrt{19}}{sin60°}$ =$\frac{7\sqrt{57}}{3}$

b) Ta có: p = $\frac{1}{2}$. (4 + 5 + 3) = 6

Áp dụng công thức Heron, ta có:

S = $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ 

= $\sqrt{6(6-4)(6-5)(6-3)}$= 6

Ta có: S = $\frac{abc}{4R}$ ⟹ R = $\frac{abc}{4S}$ =$\frac{4.3.5}{4.}$ =$\frac{5}{2}$.

Vận dụng 3:

Chọn các đỉnh A, B, C như hình vẽ.

Ta có: $\widehat{C}$ = 180° - 48° = 27°

Áp dụng định lí sin, ta có: 

$\frac{BC}{sinA}$ = $\frac{AC}{sinB}$ =$\frac{AB}{sinC}$ = 2R

⟹ BC = $\frac{AB.sinA}{sinC}$ =$\frac{3,2.sin105°}{ sin27° }$≈ 6,8 (m)

S = $\frac{1}{2}$AB. BC. sinB ≈ $\frac{1}{2}$. 3,2. 6,8. sin48°

≈ 8,08 (m$^{2}$)