CỘNG HAI ĐA THỨC.

Bài 1: Cho hai đa thức: P =…

a) Viết tổng P + Q theo hàng ngang.

b) Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau.

c) Tính tổng P + Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm.

Đáp án:

a) Ta có: P + Q = (x²+ 2xy + y²) + (x²– 2xy + y²)

b) P + Q = (x²+ 2xy + y²) + (x²– 2xy + y²) = (x² + x²) + (2xy – 2xy) + (y² + y²)

c) Tính tổng P + Q, ta được:

P + Q = (x² + x²) + (2xy – 2xy) + (y² + y²) = 2x² + 2y².

Bài 2: Tính tổng của hai đa thức: M =… và N =…

Đáp án:

M + N = (x³ + y³) + (x³ – y³) = (x³ + y³) + (x³ – y³) = x³ + y³ + x³ – y³

= (x³ + x³) + (y³ – y³) = 2x³.

Vậy tổng hai đa thức M + N = 2x³

TRỪ HAI ĐA THỨC

Bài 1: Cho hai đa thức: P =… và Q =…

a) Viết hiệu P - Q theo hàng ngang, trong đó đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc.

b) Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của đa thức Q, nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau.

c) Tính hiệu P - Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm.

Đáp án:

a) Ta có: P – Q = (x²+ 2xy + y²) – (x²– 2xy + y²).

b) Ta bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của Q rồi nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau, được:

P – Q = x² + 2xy + y² – x² + 2xy – y² = (x² – x²) + (2xy + 2xy) + (y² – y²).

c) Hiệu P – Q là:

P – Q = (x² – x²) + (2xy + 2xy) + (y² – y²) = 4xy.

Bài 2: Với 3 đa thức A, B, C trong ví dụ 3, hãy tính:

B - C

(B - C) + A

a) B – C = (2x²– y²) – (x²– 3xy)

= 2x² – y² – x² + 3xy = (2x² – x²) + 3xy – y²

= x² + 3xy – y²;

b) (B – C) + A = (x² + 3xy – y²) + (x²– 2xy + y²)

= x² + 3xy – y² + x² – 2xy + y²

= (x² + x²) + (3xy – 2xy) + (y² – y²)

= 2x² + xy.

NHÂN HAI ĐA THỨC

1) Nhân hai đơn thức

Bài 1:

Tính tích: …

Nêu quy tắc nhân hai đơn thức một biến.

Đáp án:

a) 3x². 8x⁴= (3 . 8) (x² . x⁴) = 24x⁶.

b) Quy tắc nhân hai đơn thức một biến:

Muốn nhân hai đơn thức một biến ta làm như sau:

Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau;

Thu gọn đơn thức nhận được ở tích.

Bài 2: Tính tích của hai đơn thức:…

Đáp án:

x³y⁷ . (−2x⁵y³)  = −2 (x³. x⁵) (y⁷. y³) = −2x⁸y¹⁰.

Vậy, tích của hai đơn thức là: −2x⁸y¹⁰

2) Nhân đơn thức với đa thức:

Bài 3:

Tính tích: …

Nêu quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp một biến.

Đáp án:

a) 11x³. (x²– x + 1)  = 11x³ . x² – 11x³ . x + 11x³ . 1

= 11x⁵ – 11x⁴ + 11x³.

b) Quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp một biến là:

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các kết quả với nhau.

Bài 4: Tính tích:…

Đáp án:

$(-\frac{1}{2}xy) . (8x^2 - 5xy + 2y^2)$

= $(-\frac{1}{2}xy) . 8x^2 - (-\frac{1}{2}xy) . 5xy + (-\frac{1}{2}xy) . 2y^2$

= $-4x^3y + \frac{5}{2}x^2y^2 - xy^3$

3) Nhân hai đa thức:

Bài 5: 

Tính tích: …

Nêu quy tắc nhân hai đa thức trong trường hợp một biến.

Đáp án:

a) (x + 1)(x²– x + 1) = x . x² – x . x + x . 1 + x² – x + 1

= x³ – x² + x + x² – x + 1 = x³ + 1.

b) Quy tắc nhân hai đơn thức trong trường hợp một biến là:

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.

Bài 6: Tính (x - y)(x - y)

Đáp án:

(x – y)(x – y) = x . x – x . y – y . x + y . y 

= x² – 2xy + y².

CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC

1) Phép chia hết một đơn thức cho một đơn thức

Bài 1: Tính tích:…

Đáp án:

9x⁵y⁴ . 2x⁴y² = (9. 2) (x⁵. x⁴) (y⁴. y²) 

= 18x⁹y⁶.

Bài 2: Cho P = … Tính giá trị của biểu thức P tại x = -0,5; y = -2

Đáp án:

P = (21x⁴y⁵) : (7x³y³)

= (21 : 7) (x⁴: x³) (y⁵: y³) = 3xy².

Tại x = −0,5; y = −2, giá trị của P là:

3 . (−0,5) (−2)² = −1,5 . 4 = −6.

2) Phép chia hết một đa thức cho một đơn thức:

Bài 3: Tính tích (3xy).(x+y)

Đáp án:

(3xy)(x + y) = 3xy . x + 3xy . y = 3x²y + 3xy².

Bài 4: Tìm thương trong phép chia đa thức: … cho đơn thức …

Đáp án:

(12x³y³ – 6x⁴y³ + 21x³y⁴): (3x³y³)

= 12x³y³ : 3x³y³– 6x⁴y³ : 3x³y³+ 21x³y⁴: 3x³y³

= 4 – 2x+ 4y.

Vậy thương trong phép chia đa thức trên là: 4 – 2x+ 4y

BÀI TẬP

Bài 1: Thực hiện phép tính:…

Đáp án:

a) (–xy)(–2x²y + 3xy – 7x)

= (–xy) . (–2x²y) + (–xy) . 3xy – (–xy) . 7x

= 2x³y² – 3x²y² + 7x²y.

c) (x + y)(x²+ 2xy + y²)

= x . x² + x . 2xy + x . y² + y . x² + y . 2xy + y . y²

= x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³

= x³ + (2x²y + x²y) + (xy²+ 2xy²) + y³

= x³ + 3x²y + 3xy² + y³. 

Bài 2: Thực hiện phép tính:…

Đáp án:

a) (39x⁵y⁷) : (13x²y)

= (39 : 13) (x⁵: x²) (y⁷: y) = 3x³y⁶.

b) (x²y² + $\frac{1}{6}$x³y² − x⁵y⁴) : ($\frac{1}{2}xy^2$)

= $x^2y^2 : (\frac{1}{2}xy^2) + (\frac{1}{6}x^3y^2) : (\frac{1}{2}xy^2) - x^5y^4 : (\frac{1}{2}xy^2)$

= $2x + \frac{1}{3}x^2 - 2x^4y^2$

Bài 3: Rút gọn biểu thức…

Đáp án:

a) (x – y)(x²+ xy + y²)

= x . x² + x . xy + x . y²– y . x² – y . xy– y . y²

= x³ + (x²y – x²y) + (xy²– xy²) – y³ = x³ – y³.

b) (x + y)(x²- xy + y²)

= x . x² - x . xy + x . y² + y . x² – y . xy + y . y²

= x³ - x²y + x²y + xy²– xy² + y³ 

= x³ + y³.

c) $(4x - 1) . (6y + 1) - 3x . (8y + \frac{4}{3})$

= $4x . 6y + 4x . 1 - 1 . 6y - 1 . 1 - 3x . 8y - 3x . \frac{4}{3}$

= $24xy + 4x - 6y - 1 - 24xy - 4x = -6y - 1$ 

d) (x + y) (x - y) + (xy⁴ – x³y²) : (xy²)

= x.x − x.y + y.x − y.y + (x:x)(y⁴:y²) − (x³:x)(y²:y²) 

= x² – xy + y.x − y² + 1.y^4-2 − x^3-1.1 = 0

Bài 4:

Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức…

Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x…

Đáp án:

a) P = (5x²– 2xy + y²) – (x²+ y²) – (4x² – 5xy + 1)

= 5x² – 2xy + y² – x² – y² – 4x² + 5xy – 1

= (5x² – x² – 4x²) + (5xy – 2xy) + (y²– y²) – 1

= 3xy – 1.

Với x = 1,2;  x + y = 6,2 ta tìm được y = 6,2 – x = 6,2 – 1,2 = 5.

Khi x = 1,2 và y = 5 giá trị của biểu thức P là:

3 . 1,2 . 5 – 1 = 18 – 1 = 17.

b) Ta có: (x²– 5x + 4)(2x + 3) – (2x²– x – 10)(x – 3)

= (2x³ – 10x²+ 8x + 3x²– 15x + 12) –(2x³ – x² – 10x – 6x² + 3x + 30)

= (2x³ – 7x² – 7x + 12) – (2x³ – 7x² – 7x + 30)

= 2x³ – 7x² – 7x+ 12 – 2x³ +7x²+ 7x – 30

= (2x³ – 2x³) +(7x² – 7x²) + (7x – 7x) + (12 – 30) = –8.

Khi đó, với mọi giá trị của biến x thì

(x² – 5x + 4)(2x + 3) – (2x² – x – 10)(x – 3) = –8.

Vậy giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Bài 5:

Chứng minh rằng biểu thức P =… luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.

Chứng minh rằng biểu thức Q =… luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y.

Đáp án:

a) P = 5x(2 – x) – (x + 1)(x + 9)

= (10x – 5x²) – (x² + x + 9x + 9)

= 10x – 5x² – x² – 10x – 9

= (– 5x² – x²) + (10x – 10x) – 9 = – 9.

Vậy P = – 9 với mọi giá trị của biến x.

Với mọi giá trị của biến x, P luôn nhận giá trị âm

b) Q = 3x²+ x(x – 4y) – 2x(6 – 2y) + 12x + 1

= 3x² + x² – 4xy – 12x + 4xy + 12x + 1

= (3x² + x²) + (4xy – 4xy) + (12x – 12x) + 1

= 4x² + 1

Vì 4x² ≥ 0 nên 4x² + 1 > 0.

Với mọi giá trị của biến x và y, Q luôn nhận giá trị dương

Bài 6: Bạn Hạnh dự định cắt một miếng bìa có dạng tam giác vuông với độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 6 (cm), 8 (cm). Sau khi xem xét lại, bạn Hạnh quyết định tăng độ dài cạnh góc vuông 6 (cm) thêm x (cm) và tăng độ dài cạnh góc vuông 8 (cm) thêm y (cm) (Hình 3). Viết đa thức biểu thị diện tích phần tăng thêm của miếng bìa theo x và y.

Đáp án:

Diện tích tam giác vuông có hai cạnh lần lượt 6 (cm), 8 (cm) là: 

$\frac{1}{2} .6.8 = 24 (cm^2)$

Sau khi mở rộng độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là x + 6 (cm); y + 8 (cm).

Diện tích tam giác vuông lúc sau là:

$\frac{1}{2} . (x + 6) . (8 + y) = \frac{1}{2}xy + 4x + 3y + 24$ 

Ta có đa thức biểu thị diện tích phần tăng thêm của miếng bìa theo x, y là:

$\frac{1}{2}xy + 4x + 3y + 24 - 24 = \frac{1}{2}xy + 4x + 3y$ 

Bài 7: Khu vườn của nhà bác Xuân có dạng hình vuông. Bác Xuân muốn dành một mảnh đất có dạng hình chữ nhật ở góc khu vườn để trồng rau (Hình 4). Biết diện tích của mảnh đất không trồng rau bằng $475 m^2$. Tính độ dài cạnh x(m) của khu vườn đó.

Đáp án:

Trong Hình 4, ta thấy:

Khu vực nhà bác Xuân là hình vuông có cạnh x (m)

Diện tích khu vực nhà bác Xuân là: $x^2 (m^2)$.

Mảnh đất trồng rau có chiều dài bằng x – 10 (m) và chiều rộng bằng x – 15 (m).

Diện tích mảnh đất trồng rau là: 

$(x – 10)(x – 15) = x^2 – 10x – 15x + 150$

= $x^2 – 25x + 150 (m^2)$.

Theo đề bài, diện tích của mảnh đất không trồng rau bằng $475 m^2$ nên:

$x^2 – (x^2 – 25x + 150) = 475$

$x^2 – x^2 + 25x – 150 = 475$

$25x – 150 = 475$

$25x = 625 \Rightarrow x = 25$.

Vậy khu vườn có độ dài 25 m.