Hướng dẫn giải bài 44- Đề thi thử THPT Quốc gia môn toán năm 2017 của Sở GD- ĐT Hồ Chí Minh- cụm chuyên môn VI
Câu 44: Cho số phức $z, z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $\sqrt{2} z_{1}=\sqrt{2} z_{2}=|z_{1}-z_{2}|=6 \sqrt{2}$. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z|+|z-z_{1}|+|z-z_{2}|$.
A. $6 \sqrt{2+\sqrt{2}}$.
B. $3 \sqrt{2+\sqrt{3}}$.
C. $6 \sqrt{2+\sqrt{3}}$.
D. $\frac{9}{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
Gọi M, N, D lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức $z_{1}; z_{2}, z$ trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy.
Gọi điểm E sao cho tam giác MNE là tam giác đều.
Từ giả thiết ta có $MN=\sqrt{2}ON=\sqrt{2}OM=6 \sqrt{2}$.
Trong khi đó, bất đẳng thức Ptoleme khẳng định rằng với bốn điểm A, B, C, D bất kì trên mặt phẳng, ta có $AB.CD+AD.BC \geq AC. BD$ (2)
Áp dụng cho bốn điểm D,N, M, E ta có $DN.ME+MD.NE \geq DE.MN$ do MN=ME=NE nên ta có $MD+ND \geq DE$ như vậy $OD+MD+DN \geq OD+DE \geq OE$.
Hay $P \geq OE=\frac{\sqrt{2}}{2}.6+6\sqrt{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{2}+6\sqrt{6}}{2}=6\sqrt{2+\sqrt{3}}$
Bình luận