Giải câu 1 trang 33 sách toán VNEN lớp 8 tập 2
D. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI, MỞ RỘNG
1. Bất đẳng thức Cô-si
Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm a và b:
$\frac{a + b}{2}$ $\geq $ $\sqrt{ab}$ hay $(\frac{a + b}{2})^{2}$ $\geq $ ab ;
( Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng).
Đẳng thức xảy ra khi a = b.
Bất đẳng thức này mang tên nhà toán học người Pháp Cô-si (Augustin Louis Cauchy, 1789 - 1857).
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, chứng minh các bất đẳng thức sau với a,b là hai số dương:
a) $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ $\geq $ 2 ; b) $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ $\geq $ $\frac{4}{a + b}$.
a) Theo bất đẳng thức Cô-si:
$\frac{a + b}{2}$ $\geq $ $\sqrt{ab}$ $\Leftrightarrow $ a + b $\geq $ $\sqrt{2ab}$ (a, b là số dương), ta có:
$\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ $\geq $ 2$\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}$ = 2
Vậy $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ $\geq $ 2.
b) Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
$\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ $\geq $ 2$\sqrt{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}}$ = 2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$ = $\frac{2}{\sqrt{ab}}$
Mặt khác ta có theo bất đẳng thức Cô-si: $(\frac{a + b}{2})^{2}$ $\geq $ ab $\Leftrightarrow $ $\sqrt{ab}$ $\leq $ $\frac{a + b}{2}$
Suy ra: $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ $\geq $ $\frac{2}{\sqrt{ab}}$ $\geq $ $\frac{2}{\frac{a + b}{2}}$= $\frac{4}{a + b}$
Vậy $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ $\geq $ $\frac{4}{a + b}$.
Xem toàn bộ: Giải toán VNEN 8 bài 3: Luyện tập chung
Bình luận